基本不等式课件

古人云，工欲善其事，必先利其器。在每学期开学之前，幼儿园的老师们都要为自己之后的教学做准备。为了防止学生抓不住重点，教案就显得非常重要，有了教案上课才能够为同学讲更多的，更全面的知识。所以你在写幼儿园教案时要注意些什么呢？以下内容是小编特地整理的“基本不等式课件”，在此提醒你收藏本页，以方便阅读！

基本不等式课件 篇1

【学习目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【能力培养】

培养学生严谨、规范的学习能力，分析问题、解决问题的能力。

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；及其在求最值时初步应用

【教学难点】

基本不等式 等号成立条件

【教学过程】

一、课题导入

基本不等式 的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，教师引导学生从面积的关系去找不等关系。

二、讲授新课

1．问题探究——探究图形中的不等关系。

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形abcd中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形efgh缩为一个点，这时有 。

2.总结结论：一般的，如果

（结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导）

3．思考证明：（让学生尝试给出它的证明）

4．特别的，如果a>0,b>0,我们用 分别代替a、b ，可得，

通常我们把上式写作：

①从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：（略）

②理解基本不等式 的几何意义

探究：对课本第98页的“探究”（ 几何证明）

注:在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数。本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

5、例：当时，取什么值，的值最小？最小值是多少？

6、课时小结

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（ ），几何平均数（ ）及它们的关系（ ≥ ）。它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数。它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将进一步学习它们的应用)。

7、作业：

课本第100页习题[a]组的第1、2题

板书 设 计

课题: 3.4基本不等式

一、两个不等式

二、例题及练习

基本不等式课件 篇2

基本不等式是初中数学中重要的一个知识点。通过学习基本不等式，可以帮助学生更深入地理解不等式的性质，掌握不等式的解法和应用技巧，以及提高数学分析和推理能力。下面就从不等式的定义、基本不等式的证明、基本不等式的应用等方面来详细介绍基本不等式。

一、不等式的定义

不等式是数学中的一种基本概念，用来表示两个数之间的大小关系。比如，如果a>b，则可以表示为a-b>0；如果a≥b，则可以表示为a-b≥0。在不等式中，我们常用符号“>”、“≥”、“

二、基本不等式的证明

基本不等式是指若a、b为正实数，那么(a+b)²/4≥ab。这个不等式在解决很多数学问题时都有非常重要的作用，因此我们需要掌握基本不等式的证明方法。

证明方法1：

（a+b）²/4=(a²+2ab+b²)/4= [(a+b)²-2ab]/4

由于a、b为正实数，所以(a+b)²和2ab一定是正实数。

因此，(a+b)²-2ab≥0，即(a+b)²/4≥ab。

证毕。

证明方法2：

由于a、b为正实数，所以(a-b)²≥0。根据这个不等式，我们可以推导出：

a²+b²≥2ab

(a²+b²)/2≥ab

(a²+2ab+b²)/4≥ab

(a+b)²/4≥ab

证毕。

证明方法3：

设Δ=a²-2ab+b²=(a-b)²≥0

那么，a²-2ab+b²≥0，即a²+b²≥2ab

(a²+b²)/2≥ab，即(a+b)²/4≥ab

证毕。

通过上述三种证明方法，我们可以看到，基本不等式的证明方法可以有多种，但本质上是一样的。

三、基本不等式的应用

1.求解最优解

在某些问题中，需要求解若干变量的最大值或最小值，例如某个产品的利润最大化问题、最短路径问题等，这时我们可以将问题转化为一个不等式问题，然后运用基本不等式来简化求解过程。

2.推导其他不等式

基本不等式可以作为其他不等式的推导依据。例如，在求证某个不等式时，我们可以使用基本不等式将其转化为更简单的形式，从而更容易得到证明。

3.证明集合的包含关系

当我们需要证明两个集合的包含关系时，可以通过基本不等式来构造出一些包含于其中一个集合但不包含于另一个集合的数列，这样就容易得出它们之间的包含关系。

总之，基本不等式在数学中有着非常重要的作用，深入了解和掌握基本不等式，不仅可以提高数学思维能力，也可以帮助我们更好地理解和应用各种数学知识。

基本不等式课件 篇3

基本不等式是中学数学中的重要内容，它们可以作用于多种数学领域，包括代数、几何、概率等等。这种不等式是一个基本性质，它提供了一种有效地组织和比较数字和数学表达式的方式。本文将探讨基本不等式，并解释其重要性和应用范围。

基本不等式是指一个简单的数学规律，即对于任何正实数a和b，有如下关系式：

(a + b)² ≥ 4ab

当a和b相等时等式被取得，此时有a = b = (a + b) / 2。

这个不等式看上去非常简单，但它有它的特殊地位和应用。它是所有不等式中最基本也是最重要的，它可以应用到各种自然科学和社会科学领域中。例如，基本不等式可以用于优化无线网络传输速度和缩短计算机作业响应时间，还可以在物理和金融领域中被用来研究变化率和波动性等特征。

作为一个系统的理论工具，基本不等式的价值和应用远不止于此。尤其是它的推广版Sylvester不等式，将基本不等式引向了更复杂多样的领域。Sylvester不等式是基本不等式在矩阵学科中的一个推广。它是一个矩阵不等式，描述了不同形式的矩阵之间的比较规律。从线性代数、概率、统计以及其他领域中的应用可以看出，矩阵不等式在各种学科中都有越来越广泛的应用。

基本不等式是解决一些数学难题的一个强大工具，在应用中经常运用到。因此，学生无论是在数学课堂中还是考试中，都应该掌握这个基本数学概念，并了解它的应用。通过培养学生使用基本不等式和它的推广Sylvester不等式的能力，可以帮助他们更好地掌握高等数学中更复杂的概念和算法。

因此，掌握和理解基本不等式以及它的推广Sylvester不等式对数学学习者来说非常重要。通过对基本不等式的学习和掌握，可以帮助学生完成更复杂的数学问题，进一步培养他们在数学领域的创造性和解决问题的能力。

基本不等式课件 篇4

基本不等式是初中数学中的一个重要内容，也被称为柯西-施瓦茨不等式。它的意义不仅限于初中数学，在高中数学、大学数学等领域都有广泛的应用。基本不等式是数学中非常基础的概念，我们可以通过以下的主题范文来深入了解。

主题一：基本不等式的概念及其应用

基本不等式是初中数学中的基础概念，它是数学不等式中的重要内容。它起源于柯西-施瓦茨不等式，可以用于证明不等式以及优化问题。基本不等式的本质是数学中的向量内积，具有非常广泛的应用，比如在概率论、统计学、矩阵论、函数论、微积分等方面都有应用。

主题二：基本不等式的证明方法

基本不等式的证明方法主要有两种。一种是基于二次函数的方法，另一种是基于向量内积的方法。无论采用哪种方法，都需要通过简单的代数变化、平方等方法，将式子变形成为已知的不等式形式。利用这种方法，我们就可以推出基本不等式，从而应用到不等式证明等问题中。

主题三：基本不等式在函数极值问题中的应用

基本不等式在函数极值问题中也有广泛的应用。函数的极值可以通过求导数和函数值来求解，而基本不等式可以在求解函数极值过程中起到优化作用。通过基本不等式，可以很好地规避一些数学中的陷阱，从而获得更精确的结果。因此，基本不等式在函数极值问题中的应用是非常重要的。

主题四：基本不等式在概率论和统计学中的应用

基本不等式在概率论和统计学中也有广泛的应用。概率论中的卡方分布、t分布等都是基于基本不等式的优化结果。在统计学的研究中，基本不等式可以用于特征值的计算、回归分析等方面。因此，基本不等式在概率论和统计学中的应用也是非常重要的。

主题五：用基本不等式解决数学中的“热点”问题

基本不等式是数学中的热点问题之一，因为它在解决很多复杂的数学问题中都起到了重要作用。比如，在组合数学中，基本不等式用于计算多重组合数。在三角函数中，基本不等式用于计算三角函数的幂的和。在数值分析中，基本不等式用于优化函数逼近等方面。因此，我们可以用基本不等式解决数学中的一些“热点”问题，从而获得更深入的数学技巧。

总的来说，基本不等式是数学中一个非常重要的内容，它可以用于解决不等式证明、函数极值、概率论和统计学等领域的问题。同时，基本不等式也是数学中的“热点”问题之一，它为我们提供了更深入的数学技巧和思维方式。掌握基本不等式不仅可以提高数学水平，而且可以在其他领域带来更多的收获。

基本不等式课件 篇5

一、基本不等式的简介

基本不等式是初中数学中的一项重要内容，是不等式的基础。它可以帮助我们在学习不等式的过程中更加轻松的理解和掌握其他不等式的相关知识。它的基本形式是：

对于任意实数a1, a2, …, an，有

(a1^2 + a2^2 + … + an^2)×n ≥ (a1 + a2+ … + an)^2

二、基本不等式的证明

基本不等式的证明有多种方法，下面将以几何证明法和数学归纳法为例进行讲解。

几何证明法：

首先，我们根据勾股定理和三角形面积公式有：

a1^2=（a1 cos B1）^2+（a1 sin B1）^2

a2^2=（a2 cos B2）^2+（a2 sin B2）^2

……

an^2=（an cos Bn）^2+（an sin Bn）^2

因为正余弦函数在第一象限内单调递增，所以有：

sinB1

sinB2

……

sinBn

把以上不等式累加起来并乘以n，则有：

n(a1^2+a2^2+…+an^2)>=〖(a1cosB1+a2cosB2+…+an cosBn)〗^2+n(a1^2sin^2 B1+…..+an^2sin^2 Bn)

显然，n(a1^2sin^2B1+….+an^2sin^2Bn)=n(a1sinB1+…+ansinBn)^2

因此，原不等式即证。

数学归纳法：

当n = 2时，有

a^2 + b^2 >= 2ab

(a - b)^2 >= 0

显然成立。

假设n = k - 1时原不等式成立，即

(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2) × (k - 1) >= (a1 + a2 + … + ak-1)^2

当n = k时，原不等式变为：

(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2 + ak^2) × k >= (a1 + a2 + … + ak-1 + ak)^2

因为(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2) × (k - 1) >= (a1 + a2 + … + ak-1)^2

又因为(a1^2 + a2^2 + … + ak^2) × 1 >= ak^2

因此有：

(a1^2 + a2^2 + … + ak-1^2) × (k - 1) + (a1^2 + a2^2 + … + ak^2) × 1 >= (a1 + a2 + … + ak-1)^2 + ak^2

即

(a1^2 + a2^2 + … + ak^2) × k >= (a1 + a2 + … + ak)^2

因此，当n = k时，原不等式也成立。

综合上述两种证明方法，我们可知，基本不等式是正确的。

三、应用基本不等式需要注意的问题

1. 基本不等式只适用于a1, a2, …, an均为实数的情形，不适用于其中有虚数的情形。

2. 如果不等式两侧都除以n的话，可以得到一个均值不等式：

(a1 + a2 + … + an) / n >= √(a1^2 + a2^2 + … + an^2)

这就是均值不等式的形式。

3. 基本不等式是一个有力的数学工具，它可以用于解决许多数学问题。 但在应用时，我们需要注意题目的条件，判断是否可以应用，以免掉进错误的陷阱。

四、结语

综上所述，基本不等式在初中数学中是一项基础性的内容，它的正确性是数学归纳法和几何证明法所证明的。应用时需要注意题目的条件，判断是否可以应用。相信通过学习和掌握基本不等式，我们可以更加轻松的掌握其他不等式的相关知识。

基本不等式课件 篇6

教学目的

掌握不等式的基本性质，会用不等式的基本性质进行不等式的变形。

教学过程

师：我们已学过等式，不等式，现在我们来看两组式子（教师出示小黑板中的两组式子），请同学们观察，哪些是等式？哪些是不等式？

第一组：1+2=3; a+b=b+a; S =ab; 4+x =7。

第二组：-7 1+4; 2x ≤6， a+2 ≥0; 3≠4。

生：第一组都是等式，第二组都是不等式。

师：那么，什么叫做等式？什么叫做不等式？

生：表示相等关系的式子叫做等式；表示不等式的式子叫做不等式。

师：在数学炽，我们用等号“=”来表示相等关系，用不等式号“〈”、“〉”或“≠”表示不等关系，其中“＞”和“＜”表示大小关系。表示大小关系的不等式是我们中学教学所要研究的。

前面我们学过了等式，同学们还记得等式的性质吗？

生：等式有这样的性质：等式两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除以（ 除数不为零）同一个数，所得到的仍是等式。

师：很好！当我们开始研究不等式的时候，自然会联想到，是否有与等式相类似的性质，也就是说，如果在不等式的两边都加上，或都减去，或都乘以，或都除经（除数不为零）同一个数，结果将会如何呢？让我们先做一些试验练习。

练习1 (回答)用小于号“”填空。

（1）7 ___ 4;

（2）- 2____6;

（3）- 3_____ -2；

（4）- 4_____-6

练习2（口答）分别从练习1中四个不等式出发，进行下面的运算。

（1）两边都加上（或都减去）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

（2）两边都乘以（或都除以）5，结果怎样？不等号的方向改变了吗？

（3）两边都乘以（或都除以）（-5），结果怎样？不等号的方向改变了吗？

生：我们发现：在练习2中，第（1）、（2）题的结果是不等号的方向不变；在第（3）题中，结果是不等号的方向改变了！

师：同学们观察得很认真，大家再进一步探讨一下，在什么情况下不等号的方向就会发生改变呢？

生甲：在原不等式的两边都乘以（或除以）一个负数的情况下，不等号的方向要改变。

师：有没有不同的意见？大家都同意他的看法吗？可能还有同学不放心，让我们再做一些试验。

练习3（口答）分别在下面四个不等式的两边都以乘以（可除以）-2，看看不等号的方向是否改变：

7＞4；-2＜6；-3＜-2；-4＞-6。

师：现在我们可以归纳出不等式的基本性质，一般地说，不等式的基本性质有三条：

性质1：不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向 。

（让同学回答。）

性质2：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个正数，不等号的方向 。（让同学回答。）

性质3：不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向 。（让同学回答。）

现在请大家翻开课本，一起朗读用黑体字写的三条基本性质。

不等式的这三条基本性质，都可以用数学语言表达出来，先请一位同学说一说第一条基本性质。

生：如果a＜b。那么a+c＜b+c（或a-c＜b-c；如果a＞b，那么a+c＞b+c（或a-c＞b-c）。

师：对a和b有什么要求吗？对c有什么要求？

生：没有什么要求。

师：哪位同学来回答第二、三条性质？

生甲：如果a0， 那么acb，且c>0，那么ac>bc(或

生乙：如果abc(或 )；如果a>b，且cb，且c>0，那么ac>bd;(2)如果a>b，那么ac2>bc2;(3)如果ac2>bc2，那么a>b;(4)如果a>b，那么a-b>0;(5)如果ax>b，且a≠0，那么xa;生甲：（1）不对，当c=d≤0时，ac＞bd不成立。生乙：（2）也不对，因为c2是一个非负数，当c=0时，ac2＞bc2不成立。生丙：（3）对，因为ac2＞bc2成立，则c2一定大于零，根据不等式基本性质2，得a＞b出。（4）对，根据不等式基本性质，由a＞b，两边减去b得a-b＞0。（5）不对，当a＜0时，根据不等式基本性质3，得。（6）不对，因为当b＜0时，根据不等式基本性质1，得a+b＜a；而当b=0时，则有a+b=a。师：同学们回答得很好。今天我们学习了不等式的基本性质，我们不仅要理解这三条性质，还要能灵活运用。课外做以下作业：略。教案说明（1） 不等式的基本性质的教学，是分成两个阶段进行的。在初中阶段，对不等式的基本性质，并不作证明，只引导学生用试验的方法，归纳出三条基本性质。通过试验，由特殊到一般，由具体到抽象，这是一种认识事物规律的重要方法。科学上的许多发现，大多离不开试验和观察。大数学家欧拉说过：“数学这门科学，需要观察，也需要试验。”通过教学培养学生掌握由试验发现规律的方法，具有重要的意义。当然通过几个特殊的试验，就得出一般的结论，是不严密的。但对初中学生来说，初次接触不等式，是不能要求那么严密的。（2） 不等式的基本性质的教学，还应采用对比的方法。学生已学过等式和等式的性质，为了便于和加深对不等式基本性质的理解，在教学过程中，应将不等式的性质与等式的性质加以比较：强调等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，所得到的仍是等式，这个数可以是正数、负数或零；而在不等式的两边都加上或减去，都乘以或除以（除数不能为零）同一个数，当这个数是正数、负数或零时，对不等式的方向，有什么不同的影响。通过这样的对比，不但可以复习已学过的等式有关知识，便于引入新课，而且也有利于掌握不等式的基本性质。对比的方法，也是学习数学的一种重要方法。（3） 在应用不等式的基本性质对不等式进行变形时，学生对不等式两边是具体数，判定大小关系比较容易。因为这实际上是有理数大小的比较。对于不等式两边是含字母的代数式时，根据题给的条件，运用不等式基本性质判别大小关系或不等号方向，就比较困难。因为它比较抽象，特别是在运用不等式的基本性质2和性质3时，学生必须考虑不等式两边同乘（或同除）的这个用字母表示的数的符号是什么，或者还要对这个用字母表示的数，按正数、负数或零三种情况加以讨论。在教学过程中，对于这类题目，采用讨论法是比较好的。因为在讨论时，学生可以充分发表各种见解。对于正确的见解，教师可以让学生说出解题的依据；对于错误的见解，教师可以进行启发引导，发动学生自己找出错误的原因，自己修正见解。这样，有利于发现问题，有的放矢地解决问题，有利于深化对不等式基本性质的认识。

基本不等式课件 篇7

基本不等式教学设计

数学与应用数学 钟林

课题：人教A版必修5第3章4节，基本不等式

【教学目标】

1.通过两个探究实例，引导学生从几何图形中获得两个基本不等式，了解基本不等式的几何背景，体会数形结合的思想。

2.进一步提炼、完善基本不等式，并从代数角度给出不等式的证明，组织学生分析证明方法，加深对基本不等式的认识，提高逻辑推理论证能力。 3.结合课本的探究图形，引导学生进一步探究基本不等式的几何解释，强化数形结合的思想。

4.借助例1尝试用基本不等式解决简单的最值问题，通过例2及其变式引导学生

ab领会运用基本不等式ab的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最

2值中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

【重点难点】

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索不等式abab的证明过程。

2难点：在几何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式。

【教学设计】

（一）问题导入

欣赏2002年国际数学家大会会徽，会徽是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能发现它是什么图形构成的吗？请根据会徽探索一些常见相等或不等关系。

探究一：在这张“弦图”中能找出一些相等关系和不等关系吗？ 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形．设直角三角形两条直角边长为，a,b。

22ab那么正方形的边长为。

于是，4个直角三角形的面积之和S12ab。 正方形的面积S2a2b2。 由图可知S2S1，即a2b22ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形EFGH缩为一个点，这时 a2b22ab

所以a2b22ab。

探究二：如下图所示的梯形中，EF是梯形ABCD的中位线，梯形ABGH相似于梯 形GHDC。

梯形ABCD的上底是a，下底是b。让同学们自主研究GH和EF的大小关系。

ab因为EF是中位线，所以EF，

2由相似，可以得出GHab， 同样因为相似，有

AGABa， GDGHb又因为ab，所以AGGD，即AGAE，

ab。 2显然，当AB逐渐趋近CD的时候，GH也逐渐向EF靠近， 当AB=CD的时候，即ABCD是矩形的时候，GH与EF重合。

ab即，当且仅当ab时，ab。

2ab所以，ab，当且仅当ab时，等号成立。

2所以GHEF,即ab

（二）概念深入

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：

若a,bR，则a2b22ab。（当且仅当a=b时，等号成立）

ab。（当且仅当a=b时，等号成立） 2请同学们运用代数法证明： 作法一（作差法）： 若a,bR，则aba2b22ab(ab)20ab2ab22

当且仅当a=b时，等号成立。且发现这里且a和b可以是全体实数、单项式、多项式。

作法二（分析法）：

要证明abab， 2只需证明ab2ab， 即证ab-2ab0， 即为a-b20，该式显然成立，所以，当ab时取等号。

于是有这样的结论：

称ab为a,b的几何平均数；称基本不等式abab为a,b的算术平均数， 2ab又可叙述为： 2两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数

作法三（几何法）：

如图，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b．过点C作 垂直于AB的弦DE，连接AD,BD。 从而有CDab,ODab。 2ab。 2ab当且仅当C点与圆心O点重合时，即a=b时，ab

2故再次证明：

aba0,b0,ab，当且仅当a=b时，等号成立。

2ab也说明了ab的几何意义：半径不小于半弦。

2由于直角三角形COD中，直角边CD

（三）例题讲解

例1.（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？

（2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？

（通过例1的讲解，总结归纳利用基本不等式求最值问题的特征,实现积与和的转化）

对于x,yR，

（1）若xyp（定值），则当且仅当xy时，xy有最小值2p；

s2（2）若xys（定值），则当且仅当xy时，xy有最大值。

4（鼓励学生自己探索推导，不但可使他们加深基本不等式的理解，还锻炼了他们的思维，培养了勇于探索的精神。）

1例2.求yx(x0)的值域。

x1变式1.若x2，求x的最小值．

x21在运用基本不等式解题的基础上，利用几何画板展示yx(x0)的函数

x图象，使学生再次感受数形结合的数学思想。

ab并通过例2及其变式引导学生领会运用基本不等式ab的三个限制

2条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用，提升解决问题的能力，体会方法与策略。

（四）归纳小结&课后作业 基本不等式：

若a,bR，则a2b22ab。（当且仅当a=b时，等号成立）

ab。（当且仅当a=b时，等号成立） 2（1）基本不等式的几何解释（数形结合思想）； （2）运用基本不等式解决简单最值问题的基本方法。

作业：A组第4题，B组第1题，第2题

若a,bR，则ab

基本不等式课件 篇8

基本不等式课件

基本不等式是初中数学中的重要知识点之一，在学习这个知识点之前，我们先来了解下基本不等式的定义和公式：

定义：若a1，a2，...，an是n个非负实数，则有

(a1+a2+...+an）/n≥（a1×a2×...×an）的n次方根。

公式：(a1+a2+...+an）/n≥（a1×a2×...×an）的n次方根。

这个公式的意义是，当n个数的平均值不小于这n个数的相乘积的n次方根时，我们就称这个不等式为基本不等式。

基本不等式的意义很重要，它是一种实用的数学工具，能够结合实际问题进行运用。在统计学中，我们经常需要对数据进行分析，计算某一组数的平均值。基本不等式告诉我们，对于一组非负实数，它们的平均值一定不小于它们的几何平均数。

下面我们来看一个简单的实例：

假设有两组数，分别为2,3,4和1,2,8，现在我们需要比较这两组数哪一组平均值较大。

我们可用基本不等式进行求解：

对于2,3,4，有（2+3+4）/3=3，（2×3×4）的1/3次方≈2.83，所以有3≥2.83。

对于1,2,8，有（1+2+8）/3=3.67，（1×2×8）的1/3次方≈2.19，所以有3.67≥2.19。

通过比较，我们可以发现，第一组数的平均值是小于第二组数的平均值的。

基本不等式虽然简单，但是在实际应用中有着广泛的应用。例如在金融学、经济学、医学等领域中，我们需要对数据进行分析，计算平均值。基本不等式能够帮助我们进行更加精确的计算，从而提高研究的准确性和可靠性。

在数学竞赛中，基本不等式也是一道基础题，掌握好它的原理和应用方法，就能够轻松应对数学竞赛中的各种不等式题，提升自己的数学能力。

综上所述，基本不等式是一项非常实用的数学工具，它能够帮助我们进行数据分析和计算，提高研究的准确性和可靠性。在数学的应用和研究中，掌握好基本不等式的原理和应用方法非常重要。

基本不等式课件 篇9

课题：3.4.3　基本不等式 的应用(二) 科目：数学 教学对象：高二(290)学生 课时：1课时 提供者：刘和安 单位： 姚安一中 一、教学内容分析 本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络。数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实。?

根据本节课的教学内容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助。? 二、教学目标 (一)知识目标：构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；

(二)能力目标：让学生探究用基本不等式解决实际问题

(三)情感、态度和价值观目标：

通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数 学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；? 三、学习者特征分析 在本节课的教学过程中，仍应强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具。通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学。而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科。在解决实际问题的过程中，既要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，又会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理 四、教学策略选择与设计 1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；?

2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；?

3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣。?? 五、教学重点及难点 教学重点：1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题。?

2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；?

教学难点：1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；?

2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；?

六、教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 (一)导入新课

(二)推进新课

已知 ，若ab为常数k，那么a+b的值如何变化？

若a+b为常数s，那么ab的值如何变化？

老师用投影仪给出本节课的第一组问题

(1)求函数y=2x2+ (x>0)的最小值。?

(2)求函数y=x2+ (x>0)的最小值。?

(3)求函数y=3x2-2x3(0

(4)求函数y=x(1-x2)(0

(5)设a>0，b>0，且a2+ =1，求 的最大值。?

(三)合作探究 我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间的关系来解答这些问题。根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值。 ?

(四)例题精析？

【例】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为 3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

当且仅当a=b时，a+b就有最小值为2k.?

当且仅当a=b时，ab就有最大值 (或ab有 最大值 ).?

学生完成

留五分钟的时间让学生思考，合作交流

(根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据学生到黑板板演的完成情况再一次作点评)?

学生思考、回答，

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