北师大版数学九年级下册3.6第2课时切线的判定及三角形的内切圆1教案反思

现在向您介绍幼儿园教案《北师大版数学九年级下册3.6第2课时切线的判定及三角形的内切圆1教案反思》

《北师大版数学九年级下册3.6第2课时切线的判定及三角形的内切圆1教案反思》这是一篇九年级下册数学教案，本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.

3.6直线和圆的位置关系

第2课时切线的判定及三角形的内切圆

1．掌握切线的判定定理，并会运用它进行切线的证明；(重点)

2．能灵活选用切线的三种判定方法判定一条直线是圆的切线；(难点)

3．掌握画三角形内切圆的方法和三角形内心的概念.(重点)

一、情境导入

下雨天，当你转动雨伞，你会发现雨伞上的水珠顺着伞面的边缘飞出．仔细观察一下，水珠是顺着什么样的方向飞出的？这就是我们所要研究的直线与圆相切的情况．

二、合作探究

探究点一：切线的判定

【类型一】已知直线过圆上的某一个点，证明圆的切线

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC＝CD，∠D＝30°，求证：CD是⊙O的切线．

解析：要证明CD是⊙O的切线，即证明OC⊥CD.连接OC，由AC＝CD，∠D＝30°，则∠A＝∠D＝30°，得到∠COD＝60°，所以∠OCD＝90°.

证明：连接OC，如图，∵AC＝CD，∠D＝30°，∴∠A＝∠D＝30°.∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COD＝60°，∴∠OCD＝90°，即OC⊥CD.∴CD是⊙O的切线．

方法总结：一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题

【类型二】直线与圆的公共点没有确定时，证明圆的切线

如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M.求证：CD与⊙O相切．

解析：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，用正方形的性质得出AC平分角∠BCD，再利用角平分线的性质得出OM＝ON即可．

证明：连接OM，过点O作ON⊥CD于点N，∵⊙O与BC相切于点M，∴OM⊥BC.又∵ON⊥CD，O为正方形ABCD对角线AC上一点，∴OM＝ON，∴CD与⊙O相切．

方法总结：如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到这条直线的距离等于半径．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题

【类型三】切线的性质和判定的综合应用

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，点D在AB上，DE⊥EB.

(1)求证：AC是△BDE的外接圆的切线；

(2)若AD＝23，AE＝6，求EC的长．

解析：(1)取BD的中点O，连接OE，如图，由∠BED＝90°，可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO＝∠C＝90°，可得结论；(2)设⊙O的半径为r，根据勾股定理和平行线分线段成比例定理，可求答案．

(1)证明：取BD的中点O，连接OE，如图所示，∵DE⊥EB，∴∠BED＝90°，∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心．∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠OBE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB，∴∠OEB＝∠CBE，∴OE∥BC，∴∠AEO＝∠C＝90°，∴OE⊥AE，∴AC是△BDE的外接圆的切线；

(2)解：设⊙O的半径为r，则OA＝OD＋DA＝r＋23，OE＝r.在Rt△AEO中，有AE2＋OE2＝AO2，即62＋r2＝(r＋23)2，解得r＝23.∵OE∥BC，∴AECE＝AOOB，即6CE＝4323，∴CE＝3.

方法总结：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题

探究点二：三角形的内切圆

【类型一】利用三角形的内心求角的度数

如图，⊙O内切于△ABC，切点D、E、F分别在BC、AB、AC上．已知∠B＝50°，∠C＝60°，连接OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于()

A．40°

B．55°

C．65°

D．70°

解析：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝50°，∠C＝60°，∴∠A＝70°.∵⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，∴∠OEA＝∠OFA＝90°，∴∠EOF＝360°－∠A－∠OEA－∠OFA＝110°，∴∠EDF＝12∠EOF＝55°.故选B.

方法总结：解决本题的关键是理解三角形内心的概念，求出∠EOF的度数．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第10题

【类型二】求三角形内切圆半径YJs21.COm

如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，则△ABC的内切圆半径r为()

A．1B．2C．1.5D．2.5

解析：∵∠C＝90°，AC＝6，CB＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝10，∴△ABC的内切圆半径r＝6＋8－102＝2.故选B.

方法总结：记住直角边为a、b，斜边为c的三角形的内切圆半径为a＋b－c2，可以大大简化计算．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题

【类型三】三角形内心的综合应用

如图①，I是△ABC的内心，AI的延长线交边BC于点D，交△ABC的外接圆于点E.

(1)BE与IE相等吗？请说明理由．

(2)如图②，连接BI，CI，CE，若∠BED＝∠CED＝60°，猜想四边形BECI是何种特殊四边形，并证明你的猜想．

解析：(1)连接BI，根据I是△ABC的内心，得出∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，得出∠BIE＝∠IBE，即可证出IE＝BE；(2)由三角形的内心，得到角平分线，根据等腰三角形的性质得到边相等，由等量代换得到四条边都相等，推出四边形是菱形．

解：(1)BE＝IE.理由如下：如图①，连接BI，∵I是△ABC的内心，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵∠BIE＝∠1＋∠3，∠IBE＝∠5＋∠4，而∠5＝∠1＝∠2，∴∠BIE＝∠IBE，∴BE＝IE；

(2)四边形BECI是菱形．证明如下：∵∠BED＝∠CED＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴BE＝CE.∵I是△ABC的内心，∴∠4＝12∠ABC＝30°，∠ICD＝12∠ACB＝30°，∴∠4＝∠ICD，∴BI＝IC.由(1)证得IE＝BE，∴BE＝CE＝BI＝IC，∴四边形BECI是菱形．

方法总结：解决本题要掌握三角形的内心的性质，以及圆周角定理．

三、板书设计

切线的判定及三角形的内切圆

1．切线的判定方法

2．三角形的内切圆和内心的概念

本节课多处设计了观察探究、分组讨论等学生活动内容，如动手操作“切线的判定定理的发现过程”，以及讲解例题时学生的参与，课堂练习的设计都体现了以教师为主导、学生为主体的教学原则.

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北师大版数学九年级下册3.8圆内接正多边形1教案反思

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《北师大版数学九年级下册3.8圆内接正多边形1教案反思》这是一篇九年级下册数学教案，本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.

3.8圆内接正多边形

1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点)

2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点)

3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点)

一、情境导入

这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？

二、合作探究

探究点：圆内接正多边形

【类型一】圆内接正多边形的相关计算

已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积．

解析：根据题意画出图形，可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB的长，继而求得正六边形的周长和面积．

解：如图，连接OB，OC，过点O作OH⊥BC于H，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC＝16×360°＝60°，∴中心角是60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝OC.∵OH＝3，sin∠OBC＝OHOB＝32，∴OB＝BC＝2.∴内角为180°×（6－2）6＝120°，外角为60°，周长为2×6＝12，S正六边形ABCDEF＝6S△OBC＝6×12×2×3＝63.

方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题

【类型二】圆内接正多边形的画法

如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．

解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．

解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB＝120°，∠BOC＝120°；

(2)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC＝120°；

(2)在⊙O上用圆规截取AC︵＝AB︵；

(3)连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．

方法三：(1)作直径AD；

(2)以D为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；

(3)连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法四：(1)作直径AE；

(2)分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；

(3)连接AB，BC，CA(或连接EF，ED，DF)，则△ABC(或△EFD)为圆内接正三角形．

方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题

【类型三】正多边形外接圆与内切圆的综合

如图，已知正三角形的边长为2a.

(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；

(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？

(3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？

(4)已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．

解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．

解：(1)设正三角形ABC的中心为O，BC切⊙O于点D，连接OB、OD，则OD⊥BC，BD＝DC＝a.则S圆环＝π•OB2－π•OD2＝πOB2－OD2＝π•BD2＝πa2；

(2)只需测出弦BC(或AC，AB)的长；

(3)结果一样，即S圆环＝πa2；

(4)S圆环＝πa2.

方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

【类型四】圆内接正多边形的实际运用

如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②)，点O为中心(下列各题结果精确到0.1m)．

(1)求地基的中心到边缘的距离；

(2)已知塔的墙体宽为1m，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？

解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是360°10＝36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是26÷10＝2.6，最后由该角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体宽为1m和最窄处为1.6m的观光通道，进行计算．

解：(1)作OM⊥AB于点M，连接OA、OB，则OM为边心距，∠AOB是中心角．由正五边形性质得∠AOB＝360°÷5＝72°，∴∠AOM＝36°.∵AB＝15×26＝5.2，∴AM＝2.6.在Rt△AMO中，边心距OM＝AMtan36°＝2.6tan36°≈3.6(m)．所以，地基的中心到边缘的距离约为3.6m；

(2)3.6－1－1.6＝1(m)．

所以，塑像底座的半径最大约为1m.

方法总结：解决问题关键是将实际问题转化为数学问题来解答．熟悉正多边形各个元素的算法．

三、板书设计

圆内接正多边形

1．正多边形的有关概念

2．正多边形的画法

3．正多边形的有关计算

本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.

北师大版八年级数学下册6.3三角形的中位线教学设计反思

现在向您介绍幼儿园教案《北师大版八年级数学下册6.3三角形的中位线教学设计反思》

《北师大版八年级数学下册6.3三角形的中位线教学设计反思》这是一篇八年级下册数学教案，本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.

6．3三角形的中位线

1．掌握中位线的定义以及中位线定理；(重点)

2．综合运用平行四边形的判定及中位线定理解决问题．(难点)

一、情境导入

如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF＝5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，你能求出需要篱笆的长度吗？

二、合作探究

探究点：三角形的中位线

【类型一】利用三角形中位线定理求线段的长

如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为()

A.32B．3C．6D．9

解析：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3，又∵AF平分∠CAB，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C.

方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．

【类型二】利用三角形中位线定理求角

如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为()

A．80°B．90°C．100°D．110°

解析：∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是三角形EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠ECD＝80°，故选A.

方法总结：中位线定理牵扯到平行线，所以利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．

【类型三】运用三角形的中位线性质进行证明

如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长．

解析：为证MN为△BCD的中位线，应根据三线合一，得到DM＝MC，即可解决问题．

解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∵BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝12(5－3)＝1.

方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点．

【类型四】中位线定理的综合应用

如图，E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．

解析：本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系．

解：AB＝2OF.

证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC.∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，在平行四边形ABCD中，CD＝AB，∴AB＝CE.∴在△ABF和△ECF中，∠BAF＝∠CEF，AB＝CE，∠ABF＝∠BCE，∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF，AB∥OF.

方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．

三、板书设计

1．三角形的中位线

连接三角形的两边中点的线段叫做三角形的中位线．

2．三角形中位线定理

三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

本节课，通过实际生活中的例子引出三角形的中位线，又从理论上进行了验证．在学习的过程中，体会到了三角形中位线定理的应用时机．对整个课堂的学习过程进行反思，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展，更好地进行知识建构，实现良性循环.

【反思】

中位线

三角形的中位线定理是三角形中很重要的性质之一。“遇中点，找中点”，就是在几何图形中，如果遇到线段的中点，通常会找到另一相关线段的中点，构造三角形的中位线，利用三角形的中位线的性质达到解题的目的，可见三角形的中位线在几何证明中应用有多么广泛。

一、教材分析

这节课主要内容是三角形的中位线概念及三角形中位线定理，教学所要达到的目标是：

1、知识技能：理解三角形中位线的概念，会证明三角形中位线定理，并能熟练地应用它进行有关的证明和计算。

2、数学思考：经过探索三角形中位线定理的过程，理解它与平行四边形的内在联系。

3、问题解决：经过动手实践，观察、测量、猜想、验证，体会定理推理的过程。

4、情感态度：培养学生合情推理意识，形成几何思维，体会几何学在日常生活中的应用价值。

教学重点：三角形中位线定理。

教学难点：三角形中位线定理的证明中添加辅助线的思想方法。

二、本节课亮点

1、情景设疑，层层深入

课前先让学生准备三角形纸片，我以分三角形蛋糕为情景，设置了3个问题，让学生通过折纸探究：

问题一：你能把这块三角形蛋糕平均分为2个人吗？

问题二：如果是平均分为4个人呢？

问题三：如果再提高要求，除了大小相同，形状也要相同，又该怎么分呢？

对于问题一，学生能很快找到三角形边上的中点，连接中点和顶点，形成中线，根据三角形中线的性质，就能得到2个面积相等的三角形；

对于问题二，学生会想到在问题一的基础上，再找到同边上另两个中点，形成3条中线，就有4个面积相等的三角形；或是找到另两边的两个中点，中点与中点连接，形成4个面积相等的三角形，但这4个三角形并不全等；

问题三又提高难度，要求分成4个全等的三角形，学生已有了前两个问题的提示，也不难想到，可以连接三个中点，但如何验证这4个三角形的面积就是全等的呢？这时，课前准备的三角形纸片起到作用，我们可以通过剪下其中一个三角形，看看是否重合。

通过这三个问题的探究，不仅复习了中线的性质，也引出了中位线的概念，也为接下来中位线定理的探究起到铺垫的作用。

2、自主探索，勇于表达

在探究中位线定理时，我始终作为一个引导者，学生是解决问题的主人。学生通过小组讨论交流，上台展示，畅所欲言，各抒己见。从为题的题设和结论到证明添加辅助线的解答，全部由学生合作完成，同学们想到用“倍长中线法”和“旋转法”证明。在这个过程中，有解说了一半思路不清，而寻求底下同学帮助的，也有同学想到用折叠的方法，但因存在不合理条件被其他同学举手反驳的，证明方法就在同学们的讲解讨论中越辩越明，即使是基础薄弱的同学也被这求真的氛围吸引，若有所思。同学们乐于自主探究，敢于上台分享自己的思路想法，大方自信，表达清晰完整，这也是我们教师所需要培养学生的素养能力。

3、发散思维、一题多解

在中位线的应用中，我鼓励学生拓宽思维，尝试着多种方法解决问题。如：

例1：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？

这道题学生用了三种方法：

方法一：连接AC和BD，因为中位线定理，EF∥AC,HG∥AC,EH∥BD,FG∥BD,所以EF∥HG,EH∥FG,根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即证出四边形EFGH是平行四边形。

方法二：连接AC和BD，因为中位线定理，EF=1/2AC,HG=1/2AC，EH=1/2BD,FG=1/2BD,所以EF=HG,EH=FG，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，即证出四边形EFGH是平行四边形。

方法三：连接AC，因为中位线定理，EF∥AC，EF=1/2AC,HG∥AC,HG=1/2AC,所以EF=HG,EF∥HG，根据一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形，即证出四边形EFGH是平行四边形。

练习1、已知：在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=1/2AB，点E、F分别为边BC、AC的中点．求证：DF=BE．

这道题学生用了四种方法：

方法一：根据中位线定理，证明△DAF≌△EFC，可得DF=EC，因为EC=BE,所以DF=BE。

方法二：如图1，取AB的中点G,连接GF,证明△DAF≌△GAF,可得DF=GF，根据中位线定理，可证四边形CBEF是平行四边形，所以GF=BE，所以DF=BE。

方法三：如图2，连接AE,根据中位线定理，可证四边形DAEF是平行四边形，所以DF=AE，且∠BAC=∠EFC=90°，所以EF是AC的垂直平分线，所以EC=AE,EC=BE,则DF=BE。

方法四：如图3，取AB的中点G,连接GE,根据中位线定理，可证四边形AGEF是平行四边形，可得AF=GE，证明△DAF≌△BGE,则DF=BE。

三、本节课不足及改进

1、应适当渗透“倍长中线法”

在探究中位线定理时，同学们的证明方法其实是“倍长中线法”，我可以再进行补充总结，适当拓宽知识点深度，让同学们遇到证明线段数量关系时，有倍长的意识，为即将升上九年级的同学们打下基础，减轻繁杂的知识负担。

2、应合理分配时间，详略得当

在中位线应用的习题上，例1和变式都属于利用中位线证明平行四边形，我在例1上花了时间让同学们分享多种解法，在变式上则可不再铺展开赘述，可把更多的时间留到拓展提升题上，学生有更充分的时间思考及书写证明过程。

3、在习题选取上应贴切中考

在拓展提升题中，有一道是利用中位线探究三角形周长和面积的规律问题，在课后评课中，一直从教中考毕业班有经验的老师建议我：“这种题中考不会出现，选题时应结合中考形势选题，从大量习题中选出精题优题。”这也是我接下来改进与提升的方向。

四、对课堂的思考

作为一名初中数学教师，应当在教学实践中注重学生数学思维方式的培养，在传授知识的同时，引导学生掌握数学方法、体会数学思维。走出课堂或学校后，真正能遗留在学生记忆中，依靠数学解决问题才是真正的数学核心素养。教师在课堂中应为学生提供充足的机会、提供土壤和平台，让学生在课堂中扮演主要角色，引导学生自己发现问题、解决问题，释放每个学生的数学潜能，多给学生机会发表自己的观点。总之，数学教师应尽力做到以数学知识为载体，培养学生数学思维，为学生数学核心素养的培养奠定基础。

北师大版数学九年级上册6.2第1课时反比例函数的图象优秀教案反思

现在向您介绍幼儿园教案《北师大版数学九年级上册6.2第1课时反比例函数的图象优秀教案反思》

《北师大版数学九年级上册6.2第1课时反比例函数的图象优秀教案反思》这是一篇九年级上册数学教案，这节课主要是通过学生自主探究、观察、类比学习，探索得出反比例函数的图象和性质，使学生经历了一次自主获取新知的成功体验，充分体现自主探究的学习方法。

6.2反比例函数的图象与性质

第1课时反比例函数的图象

1.会用描点法画出反比例函数的图象，并掌握反比例函数图象的特征；（重点）

2.会利用反比例函数图象解决相关问题.（难点）

一、情景导入

已知某面粉厂加工出4000吨面粉，厂方决定把这些面粉全部运往B市.

所需要的时间t（天）和每天运出的面粉总重量m（吨）之间有怎样的函数关系？你能在平面直角坐标系中形象地画出这个函数关系的图象吗？

二、合作探究

探究点一：反比例函数的图象

【类型一】判断反比例函数所在的象限

反比例函数y＝－6x的图象在（）

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第一、三象限D.第二、四象限

解析：因为k＝－6＜0，所以反比例函数的图象在第二、四象限.故选D.

方法总结：反比例函数y＝kx的图象是由两支曲线组成的.当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内.

【类型二】由反比例函数图象的位置确定k的取值范围

若双曲线y＝2k－1x的两个分支分别在第二、四象限，则k的取值范围是（）

A.k＞12B.k＜12

C.k＝12D.不存在

解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有2k－1＜0，解得k＜12.故选B.

方法总结：反比例函数的图象的位置由k的符号确定.

【类型三】实际问题的反比例函数图象

已知一个长方形的面积是8，则这个长方形的一组邻边长y与x之间的函数关系图象大致是图中的（）

解析：本题是一道有关反比函数的实际问题.已知长方形的面积是8，两邻边的长分别是x，y，所以x·y＝8，即y＝8x，所以此函数属于反比例函数.而长方形的任意一边的长度都必须大于0，故x的取值范围是x＞0.由k＞0且x＞0可知，函数的图象只在第一象限内，故选D.

方法总结：在解决与反比例函数的图象有关的实际问题时，因自变量的取值范围有限制，常只有一个分支或一个分支中的部分曲线段符合题意.

探究点二：一次函数与反比例函数的综合应用

在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax＋b与y＝abx（ab≠0）的图象大致是（）

解析：在A、B中，反比例函数的图象在第一、三象限，∴ab＞0.而观察一次函数的图象，在A中，a＞0，b＜0，矛盾；在B中，a＜0，b＞0，矛盾.在C、D中，反比例函数的图象在二、四象限，∴ab＜0.再观察一次函数的图象，在C中，a＜0，b＞0，符合题意；在D中，a＞0，b＞0，矛盾，故选C.

方法总结：在每个选项中可先由一个函数图象的位置得出a、b的符号情况，然后在另一个函数图象上检验，若无矛盾，则此选项正确，否则就是错误的.

已知反比例函数y＝kx的图象与一次函数y＝3x＋m的图象相交于点（1，5）.

（1）求这两个函数的解析式；

（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标.

解：（1）∵点（1，5）在反比例函数y＝kx的图象上，

∴5＝k1，即k＝5，

∴反比例函数的解析式为y＝5x.

又∵点（1，5）在一次函数y＝3x＋m的图象上，

∴5＝3＋m，即m＝2，

∴一次函数的解析式为y＝3x＋2；

（2）由题意，联立y＝5x，y＝3x＋2.

解得x1＝1，y1＝5或x2＝－53，y2＝－3.

∴这两个函数图象的另一个交点的坐标为（－53，－3）.

三、板书设计

反比例函数的图象形状：双曲线位置当k＞0时，两支曲线分别位于第一、三象限内当k＜0时，两支曲线分别位于第二、四象限内画法：列表、描点、连线（描点法）

通过学生自己动手列表、描点、连线，提高学生的作图能力.理解函数的三种表示方法及相互转换，对函数进行认识上的整合，逐步明确研究函数的一般要求.反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，为学生探索反比例函数的性质提供了思维活动的空间.

【反思】

这节课主要是通过学生自主探究、观察、类比学习，探索得出反比例函数的图象和性质，使学生经历了一次自主获取新知的成功体验，充分体现自主探究的学习方法。根据本节课的知识特点，首先回顾了正比例函数一次函数图像与性质的学习模式，让学生首先明白该做什么，该怎么做的问题。其次是让学生类比正比例函数以及一次函数的图像与性质的的研究内容，让学生明白我们应该从图像上去识别什么，观察什么，通过类比学生明白了应该研究图像的形状，图像在不同象限时函数的增减性。最后展示一些有关性质的习题让学生利用医学知识来解决此类问题，检测学习目的的达成。

带着这样的思路,我设计了《反比例函数的图象与性质》教案。对教学中体会较深的几点如下：

首先,目的明确了，做起事情才有方向，这节课学生通过我的引导，类比正比函数和一次函数图像与性质的研究方式途径，学生一回忆，方向明确了，自主探究起来也就有了方向，知道了自己应该怎么做。

其次,数形结合思想在函数学习中的重要性，一个问题让我们去凭空想象在自己的脑海里构图，想起来对相当多的学生还存在很到大的困难，但是只要我们把图做出来，再在图中寻找信息就变得直观形象。让人看起来一目了然，数形一结合，信息就自然明了。

再次，及时巩固是重点，学生既然能很好的总结知识点，那么我们就应该让学生把总结的知识点加深巩固，这就要设计切合实际的练习题，还应该紧扣本节课所学知识，我在设计习题的过程中特意的做了安排，只要学生能判断来一个反比例函数的比例系数就能很好的完成函数所在象限和增减性的判断。

通过课堂学生的表现看，本节课的知识学生掌握的比较好，尤其是在平时的课堂上从不发言的王某、李某等人都踊跃举手回答，当然都是正确的。这让我深深地反思了自己平常的教学，我们更应该把课堂还给孩子，因为他们才是课堂的主体。

北师大版数学九年级上册6.2第2课时反比例函数的性质优秀教案反思

现在向您介绍幼儿园教案《北师大版数学九年级上册6.2第2课时反比例函数的性质优秀教案反思》

《北师大版数学九年级上册6.2第2课时反比例函数的性质优秀教案反思》这是一篇九年级上册数学教案，图像的变化趋势有什么影响？从这些方面去比较理解反比例函数与一次函数，帮助学生将所学知识串联起来，提高学生综合能力。运用多媒比较两函数图像，使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别。从而使学生加深对两函数性质的理解。

第2课时反比例函数的性质

1.理解并掌握反比例函数图象的性质；（重点）

2.能利用反比例函数的图象与性质解决问题.（难点）

一、情景导入

在一个平面直角坐标系中，根据所提供的两组数据描绘出相应的反比例函数图象.

x－6－3－2－11236

y－1－2－3－66321

x－6－3－2－11236

y1266－6－3－2－1

观察这两个图象，试着求出它们的解析式，看看它们之间是否存在着某些关系？

二、合作探究

探究点一：反比例函数图象的性质

【类型一】利用反比例函数的性质确定字母的取值范围

在反比例函数y＝1－kx的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（）

A.－1B.0C.1D.2

解析：反比例函数y＝1－kx的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，根据反比例函数的性质可知，该图象的两个分支分别在第二、四象限内，所以该函数的比例系数1－k＜0，解得k>1.故只有D项符合题意.故选D.

方法总结：反比例函数图象的位置和函数的增减性，都是由比例系数k的符号决定的；反过来，由双曲线所在位置和函数的增减性，也可以推断出k的符号.

【类型二】比较函数值的大小

在反比例函数y＝－1x的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），若x1＞x2＞0＞x3，则下列各式正确的是（）

A.y3＞y1＞y2B.y3＞y2＞y1

C.y1＞y2＞y3D.y1＞y3＞y2

解析：本题方法较多，一是根据x1，x2，x3的大小即可比较；二是画出草图，根据反比例函数图象的性质比较；三是利用特殊值法.

（方法一）比较法：由题意，得y1＝－1x1，y2＝－1x2，y3＝－1x3，因为x1＞x2＞0＞x3，所以y3＞y1＞y2.

（方法二）图象法：

如图，在直角坐标系中作出y＝－1x的草图，描出符合条件的三个点，观察图象直接得到y3＞y1＞y2.

（方法三）特殊值法：设x1＝2，x2＝1，x3＝－1，则y1＝－12，y2＝－1，y3＝1，所以y3＞y1＞y2.故选A.方法总结：此题的三种解法中，图象法形象直观，具有一般性；特殊值法最简单，这种方法对于解答许多选择题都很有效，要注意学会使用.

探究点二：反比例函数图象中比例系数k的几何意义

如图，四边形OABC是边长为1的正方形，反比例函数y＝kx的图象经过点B（x0，y0），则k的值为.

解析：∵四边形OABC是边长为1的正方形，∴它的面积为1，且BA⊥y轴.又∵点B（x0，y0）是反比例函数y＝kx图象上的一点，则有S正方形OABC＝|x0y0|＝|k|，即1＝|k|.∴k＝±1.又∵点B在第二象限，∴k＝－1.

方法总结：利用正方形或矩形或三角形的面积确定|k|的值之后，要注意根据函数图象所在位置或函数的增减性确定k的符号.

三、板书设计

反比例函数的性质性质当k＞0时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而减小当k＜0时，在每一象限内，y的值随x的值的增大而增大反比例函数图象中比例系数k的几何意义

通过对反比例函数图象的全面观察和比较，发现函数自身的规律，概括反比例函数的有关性质，进行语言表述，训练学生的概括、总结能力，在相互交流中发展从图象中获取信息的能力.让学生积极参与到数学学习活动中，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲.

【反思】

图像的变化趋势有什么影响？从这些方面去比较理解反比例函数与一次函数，帮助学生将所学知识串联起来，提高学生综合能力。运用多媒比较两函数图像，使学生更直观、更清楚地看清两函数的区别。从而使学生加深对两函数性质的理解。

体会：

通过本案例的教学，使我深刻地体会到了信息技术在数学课堂教学中的灵活性、直观性。虽然制作起来比较麻烦，但能使课堂教学达到预想不到的效果，使课堂教学效率也明显提高。