中班数学课件

中班数学课件系列。

我非常努力地为您准备了“中班数学课件”希望您喜欢，我们将会持续为您提供更多的内容和服务希望您能够多多关注我们。老师职责的一部分是要弄自己的教案课件，不过教案课件里知识点要设计好。教案是教学过程中的重要参考。

中班数学课件(篇1)

中学数学活动教学设计：学习6（第一研究）

教学目标：

1感知6中物体的数量并识别出数字6。

2、能够用6的物体数量进行活动操作。

活动准备：

物质准备：数字卡片6，水彩笔、空白卡片纸、串珠、塑料扣环、礼物盒等，**《生日歌》，**器。

材料配套：教育挂图，幼儿活动操作材料《科学*6个礼物》。

活动过程：

1、观察发现“小朋友过生日”挂图中的物品名称和数量。

猜想：小朋友过几岁生日？从**看出来的？为什么？

观察：儿童之家准备了哪些生日礼物？它们的数量分别是几？

认读：出示数字“6”，引导幼儿认读数字“6”，观察、想象“6”像什么。

2通过操作材料，可以进一步了解6的数量。

请幼儿完成操作材料《6个礼物》，教师观察并针对幼儿的不同情况进行个别指导，引导幼儿边操作边说“我送了x个xx给过生日的小朋友”。

小结：生活中有很多数量是6的物品，不管它们大小、颜色或者形状，只要数量是6的，都可以用数字“6”来表示。

3、分组操作活动。

为孩子们庆祝生日，介绍操作任务和要求，并简要介绍每组操作材料的玩法。

等一组：包装饼干。把6块不同形状的饼干装进一个小袋子里给孩子们吃。

第二组：画礼物。在空白的卡纸上画上6样物品送给小朋友。

第三组：在盒子内装上不超过6颗的糖果送给小朋友。

小结：生活中还有很多数量是6的物品，小朋友们可以继续寻找、发现，并把它们用绘画的形式记录下来，带来和同伴们分享。

4、结束活动。

**《生日歌》，大家一起唱歌，祝小朋友生日快乐。

活动延伸：

1在美术区放几张卡片和空白卡片，引导孩子们根据数字画物体。

2把玩具鱼竿和小鱼放在教育区，让孩子们进行钓鱼活动，并数几条鱼。

三。生活活动：引导孩子数每组的数量、杯子和毛巾的数量，感知数字在生活中的运用。

中班数学课件(篇2)

一、听音乐做思维训练操。

二、新授：通过二次转换，完成对应位置的记数

1、老师给小朋友带来了四个扇形果盘，请小朋友看看是什么颜色的？里面住着什么水果宝宝？

2、你们还记得苹果宝宝是住在什么颜色的果盘里吗？

3、这儿还有一个空的果盘，看看它和刚才的果盘有什么不一样？

颜色标记搬家了，那水果宝宝也应该搬家，想一想，苹果宝宝的新家应该在哪儿呢？为什么？并用数字表示水果的数量再贴到相应的颜色家里。

4、师幼共同小结。

三、小组操作活动

刚才我们已经帮助水果宝宝找到家了，现在还有许多小动物也需要你们帮忙找家呢！你们愿意帮忙吗？看看有哪些小动物？

1、幼儿操作

2、评价作业

3、小结

四、游戏：

先请小朋友从盒子里摸一个数字，看看它是数字几？然后找找它可以表示哪一种粮食的数量，最后拿着数字再站到相对应的颜色家里，这样就表示你帮助小动物们送来了粮食啦！

中班数学课件(篇3)

一、计划思绪：

梯形是只有一组对边平行的四边形，是幼儿所要熟悉的平面图形中最难明白的一种，尤其是梯形的观点。是以，中班幼儿熟悉梯形，只要明白梯形的特性，能找出响应的图形即可，不须要求幼儿用说话形貌梯形的特性。我把本运动的目的定为：

1、开端明白梯形的特性，并能不受其他图形的滋扰在种种图形中找出梯形。

2、熟悉差别的梯形，生长幼儿的不雅察、比力、着手本领。

3、诱发孩子们进修图形的爱好。

为了更好的举行讲授，我做出以下预备：

新《纲领》指出“西席应当成为运动的支撑者、互助者、引诱者”。运动中西席要心中有目的，眼中有幼儿，不时有教诲，幼儿园教案以互动的、开放的、研讨的理念，让幼儿真正成为进修得主体。是以我接纳了操纵法，景象法，互动法，并计划游戏情势，让幼儿在游戏中进修，充实施展幼儿进修的努力性。为了更好地凸起幼儿的主体职位地方，在全部讲授历程中，经由过程让幼儿听一听，说一说、做一做等多种情势，让幼儿努力动眼、动耳、动脑、动口，引诱幼儿经由过程本身的进修体验来进修新知，努力开展本节课的讲授运动。

讲堂讲授是幼儿数学常识的得到、技巧技能的形成、智力、本领的生长以及头脑品行的养成的重要门路。为了到达预期的讲授目的，我对全部讲授历程举行了体系地计划，遵照目的性、团体性、开导性、主体性等一系列原则举行讲授计划。计划了四个重要的讲授法式：

1、经由过程探求、涂色运动让幼儿开端感知梯形的特性。

让幼儿找出图中不是长方形、正方形的图形并涂上色彩。

因为梯形的观点幼儿不轻易明白幼儿园教育随笔，以是运动计划我就不从观点入手，而让幼儿经由过程操纵运动，重复感觉，渐渐明白梯形的特性。

2、不雅察相识梯形特性。

（1）出示梯形，提问：这个图形有几条边？几个角？你们看，它上面的边短，下面的边长，高低两条边平平的，旁边两条边斜斜的。这个图形像什么？

（3）不外，梯形宝宝可淘气呢，它一下子翻跟头，一下子躺下睡觉，你们看如许照旧梯形吗？（小结：本来梯形可以倒着放，睡着放，它们都是梯形。）

（4）分离出示直角梯形、等腰梯形，让幼儿相识它们也是梯形。

提问：这个一边可以当滑梯的图形，是不是梯形？这个双方有一样长滑梯的图形，是不是梯形？

幼儿熟悉梯形的别的一个难点是梯形的多样性。幼儿熟悉的特色是先入为主，轻易形成定势。以是运动开端时就要让幼儿打仗种种梯形，每个环节中幼儿所看到的、制造的梯形都是种种百般的。

3、经由过程再一次的操纵运动让幼儿牢固相识梯形的根基特性。

（1）来了一些小客人，他们说肚子饿了，想吃梯形饼干，小朋友能资助他们吗？

（2）先请小朋友们从种种外形的饼干中遴选出1块梯形饼干，举起来给先生查验。

（3）再选择2块差别的梯形饼干，给搭档查验后喂小客人，并对小客人说：“请吃梯形饼干”。（西席在旁留意查验）

此环节是我在讲授中故意配置的一个难点，给小客人喂梯形饼干幼儿得选择2块差别的梯形饼干，给搭档查验后喂小客人，并对小客人说：“请吃梯形饼干”。幼儿手工制作这里必需选择差别的梯形饼干，对一部门幼儿来说，是须要思索一下的。只有让幼儿颠末肯定的尽力超过已往才气从中引发他们的进修爱好，从心底里获得满意。

4、经由过程探求生存中常见事物中的梯形，加深对梯形特性的熟悉。

（1）让幼儿在运动室四周张贴的图片中，探求梯形宝宝，先请一名幼儿找找、说说。

（2）勉励全部幼儿探求梯形，跟搭档和客人先生说说梯形宝宝藏在那里。

在全部引导历程中哦注意“三最”：即最大的不雅察（尽力不雅察每位幼儿，制止笼统评价）；最小的干涉（西席脚色举行逊位，不干涉替换）；最多的勉励（勉励幼儿的点滴前进）。

别的，尽力掌握“玩数学”的度。不在游戏中锐意地“教”，让幼儿在游戏中充实发泄情绪，感觉愉悦。

这节课，我经由过程四个环节的讲授计划，既遵照了观点讲授的纪律，又切合幼儿的认知特色，引导幼儿不雅察、游戏，操纵，获取新知；同时注意造就幼儿的头脑和各项本领。在讲授历程中让幼儿动口、着手、动眼、动脑为主的进修要领，使幼儿学有爱好、学有所获。

中班数学课件(篇4)

一、设计意图

这个活动联系儿童的实际生活，在儿童生活经验的基础上，利用身边的.事物与现象作为对象，引导儿童对身边常见的事物和现象的特点，变化规律产生兴趣，为儿童创设宽松的环境，提供可操作的材料，让儿童在以前学的数字的基础上，能够把图形与数字联系起来，学会寻找图形中的数字，同时达到了巩固的效果，所以这篇教材适合中班小朋友学习。

二、重点、难点

这篇教案主要是让儿童学会看图数数寻找号码，并且能够比较每组数字间的不同处与相同处，按老师要求编号码，这是教学中的重点，同时也是难点。

三、教学目标

1．通过图形与数字匹配，巩固对7以内数字的认识。

2．引导儿童感受数字的丰富变化，从中发现数字的排列规律，提高儿童

的观察能力。

3．通过游戏的形式，体验参与活动的乐趣。

四、教学准备

1．几何图形组合若干，小动物图片。

2．数字卡片。白色纸条、糨糊。

3．12只电话机。

活动过程

一、看图找电话号码

1．“冬季运动会就要开始了，老师想邀请小动物也参加，那用什么方法通知它们呢？”

2．“打电话需要电话号码，你们知道小动物家的电话号码吗？”老师这里有

不过和我们见过的号码不一样，需要你们在图形中来找小动物家的电话号码。

3．幼师分别出示图形卡，引导儿童看图形，通过图形寻找电话号码。

（这部分主要是根据儿童平时的一些生活经验，知道需要用电话来通知，由

于儿童对图形已经非常熟悉，所以我又通过图形，以小动物为名让儿童从中找出数字，有一定的趣味性，，这样儿童的学习兴趣会更浓厚些）

二、观察数字，感知数字的丰富变化

1．你们在这些号码中发现了什么秘密？

2．这些电话这些号码有什么不一样？（数字排列顺序不一样）

（让儿童知道数字排列的顺序不同，排出来的号码也是不同的。这里我让儿童自己观察，自己发现，充分体现了儿童的自主性。）

3．“数数电话号码有几位数字呢？”（都是7位数的号码）

（这部分主要是根据儿童在认识数字的基础上，幼师从旁引导，让儿童观察比较这三组数字的变化，激发了儿童的探究欲望。这里我就采用了集体教学，让每个孩子都有表达的机会。）

三、创编号码

1．“有许多小动物家都没有电话号码，我们用数字来帮它们编个电话号码吧！”

（这环节主要是让儿童已经感知到数字丰富变化的基础上，让他们动手尝试

排号码）。

2．幼师交代要求：用7个不同的数字编电话号码。

3．幼师巡视、指导，并请儿童上来念一念编的号码。（我请儿童个别讲述，可以让其他儿童帮助检验，同时也巩固了儿童对数字的认知）

四、游戏打电话

1．有了这些电话号码我们可以干什么呢？

2．交代游戏要求：那我们来玩一个打电话的游戏，两个小朋友一部电话机，一个小朋友拨电话，一个小朋友看看他拨的号码对不对，也可以交换号码来拨。

（这部分是以游戏为主，利用儿童对身边常见事物的特点进行教学，并让儿童来玩打电话的游戏，在认识数字的基础上，正确拨打电话号码，这样的环节增加了趣味性，孩子就不会感到枯燥，同时我又提出打电话的要求，两个小朋友一部电话机，相互拨打对方编的号码，主要是为了让儿童巩固对数字的认识与操作，也能让孩子感到生活的有趣。）

五、延伸活动

“电话号码上的数字非常有趣，其实在生活中还有许多有趣的数字，请小朋友一起去找一找生活中有趣的数字。”

中班数学课件(篇5)

设计理念：

数字无处不在，它们的存在也给我们的生活带来了很多的方便，数字在不同的地方代表着不同的意思。根据幼儿年龄特点，我以猜数字的游戏导入激发幼儿学习兴趣，引导幼儿在猜猜、找找、说说、玩玩、画画中进一步巩固对数字的认识，了解数字在日常生活中的作用，体验数字的重要和有趣，从而激发幼儿探索数字奥秘的兴趣，培养幼儿积极关注身边事物的情感态度。

活动目标：

1、初步感受生活中的数字体验数字的意义，知道数字无处不在。

2、运用数字进行游戏活动，从中体验活动的乐趣。

3、激发幼儿对数字的兴趣,培养幼儿积极关注身边事物的情感态度。

活动重点：发现生活中的熟悉，知道数字代表的意思，感知数字无处不在。

活动难点：运用数字进行游戏活动，体验游戏的快乐和数字的有趣。

活动准备：多媒体课件、幼儿人手一支笔、一份记录纸

设计意图：用"猜数字游戏"导入激发幼儿学习兴趣。

利用课件，展示生活中有数字的部分图片，引导幼儿进一步感知数字在生活中的运用，体验数字的重要。

通过对数字的变形，变成有趣的动物和交通工区，体现数字的趣味性。

通过之前几个图片的观察，让幼儿自己想象，并用数字做出有趣的画，感受数字的有趣。

活动过程：

一、猜想数字、激发兴趣。

1、出示PPT空白表格师：你知道上面有几个格子吗？

2、出示PPT2师：在每个格子里藏着不同的数字宝宝，我们边看边猜他们分别是数字几？

师：在猜数字宝宝之前呢，先要记住这句话，从0-9的数，一个一个的数，才会发现少的数字。

3、给数字排队师：看一下这十个数字宝宝里，哪个最大，哪个最小？

师：你能给这几个数字宝宝排一排队吗？从小到大怎么排，从大到小怎么排？

师：有没有其他的排法吗？

4、教师出示PPT师：你知道这些数字是怎么排的吗？

二、数字代表的意思

1、师：这十个数字宝宝是我们平时看到听到和感受到的数字，你在生活当中什么地方见到过这些数字呢？

师：马路上有数字吗？家里有数字吗？

2、出示PPT师：为什么上面有数字，都是干什么用的？

师：生活中到处有数字，不同的数字代表不同的意思，你回去再去找找看，下次告诉我。

三、有趣的数字

1、出示PPT小鸡，师：看，这是什么？数字3怎么了？怎么变？除了数字3还有几？

2、出示图片冰淇淋，师：这又有那些数字宝宝呢，他们怎么了？

3、出示图片魔术师师：这次的图片，老师0-9每个数字宝宝用了一次，你能把它们都找出来吗？记住0-9一个一个的数，你就会发现不见的数字哦。

四、游戏数字、体验有趣

1、师：数字宝宝可以做成那么多好玩的东西，现在要请你们自己动动手，动动脑筋来画一画。

2、出示PPT师：你可以照着老师画画，你也可以自己想，要用到数字宝宝哦。

3、教师评价欣赏。

中班数学课件(篇6)

设计意图

在幼儿的生活中时时能捕捉到数学的影子，幼儿对数学的感知也是建立在生活经验的基础上。为此开展了《小猫钓鱼》活动。在生活中寻找数学教育的素材，有利于幼儿构建连续、完整的数学知识体系。幼儿的学习是一个日积月累的过程，在贴近幼儿生活的数学教育中，幼儿已有的知识经验能帮助他们对新知识进行同化和顺应，为幼儿学习数学提供广泛的基础；在生活中寻找数学教育的素材，有利于幼儿产生对数学的学习兴趣。

游戏目的

1、训练幼儿点数的能力以及知道在1的基础上添上1是2，再添上1是3，再添上1是4；

2、训练幼儿的观察力、注意力以及准确的判断力。

游戏内容

1、家长先要准备好小猫钓鱼的玩具一套。

2、家长告诉幼儿。"你今天扮演小猫，看看你能钓多少条鱼？"幼儿拿起钓杆开始钓鱼（这种玩具是一直转动的，而且鱼的嘴巴一张一合，可以锻炼幼儿）当幼儿钓到一条时，家长就问"钓到几条？"幼儿会回答"1"条。当幼儿再钓到一条鱼时，家长说"一条与再添上一条鱼是几条？"幼儿回答"2条"。第三条时引导幼儿说出"2条鱼再添上一条鱼是3条鱼"当幼儿钓到第4条鱼时，家长问幼儿：一共钓了几条鱼？并且让幼儿仔细数钓到鱼的个数，说出总数，"3条鱼加上1条鱼是4条鱼"。

游戏指导

1、幼儿钓鱼时，家长要鼓励幼儿不慌不忙的钓鱼，锻炼耐心。对于钓不到鱼的幼儿，家长可以手把手的帮助。

2、幼儿在达到游戏目标时，若有兴趣，把鱼放在里面重新进行。

活动反思

活动中幼儿思维还是很活跃的，参与积极性比较高。针对中班幼儿的认知特点和他们天真浪漫，爱说爱动，及对自己的行为约束力差，注意力容易分散的特性。活动关键在于采取多种形式培养幼儿的学习兴趣，激发孩子主动学习的积极性。如果老师能够让孩子们一上学就感受到学习的乐趣，从小培养起他们的强烈的求知欲、良好的思维品质和学习习惯，对孩子们来说，将受益匪浅。

数学活动“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循幼儿学习数学的心理规律，强调从幼儿已有的生活经验出发……数学教学活动必须建立在幼儿的已知发展水平和已有的知识经验的基础之上。数学活动中教师要能及时肯定他们在生活中善于观察的好习惯，培养幼儿有一双“用数学视角观察世界的眼睛”。

中班数学课件(篇7)

活动目标：

1、区分自己身体的左右，分清自己的左边和右边。

2、在游戏活动中，感知“左”、“右”的空间方位，发展初步的位置观念。

活动过程：

一、感知自身的左右

1、区别左右

小结：对呀，左手，右手是我们身上的一对好朋友，只有左手和右手的相互配合才能把事情做的更好更快。

2、找一找

教师：想一想，我们的身上，还有哪些象手一样，是一左一右的一对好朋友

3、游戏"我说你做"

教师：刚才小朋友找的又快又好，现在老师要请我们身上的这些好朋友做个游戏，这个游戏就叫"我说你做"，看谁的小耳朵最灵，反应最快。

举起右手，耸耸左肩，跺跺左脚，拍拍右腿，摸摸左耳；增加难度：左手摸左耳，右手摸左耳，左手拍右腿等等??【WWW.277433.cOM 正能量句子】

二、探索交流，熟悉左右的相对性：

1、有几只小动物？最左边是谁？最右边是谁？

2、从左边数起，第3个是谁？

3、从右边数起，第2个是谁？

4、小猫排在第几个？（可以从左，也可以从右看）

5、小狗的左边是谁？右边是谁？

总结：我们看的标准不同，左右方向也不同。

中班数学课件(篇8)

（一）、创设情景导入课题，引导幼儿感知春天的特征，复习10以内的点数。

师：孩子们，现在是什么季节？

师：美丽的春天来了，谁知道春天都有哪些美丽的景色？

师：春天来了，春姑娘还给小朋友们带来了一幅美丽的图画，请看大屏幕，看上面有什么？它们的数量是几？

（二）、播放课件，启发幼儿观察感知10以内物品的数量及守恒。

1、排除物体大小的干扰，正确感知数的守恒。

师：春姑娘还带来了什么？出示课件（花）什么花？（桃花）

师：请小朋友观察这两排桃花，有哪些不同？（大、小）

大桃花有几朵？小桃花有几朵？是不是一样多？都用数字几来表示？

教师小结："尽管他们大小不同，但数量相同，都可以用数字5来表示。

2、排除物体排列方式的干扰，正确感知数的守恒。

师：春天来了，天气渐渐变暖和了，小燕子从南方飞回来了，出示课件，飞来几只小燕子？（数完后，出示数字10）它们排着什么队形飞来的？

师：（一横排）小燕子飞呀飞呀，飞成什么队形了？（半圆形）数一数，小燕子的数量变了吗？它们发生了什么变化？（队形变了，但数量没变，出示数字10），小燕子继续飞呀飞呀，又飞成什么图形？（三角形），提问内容形式同上。

教师小结：尽管它们的排列方式发生变化，但都可以用数字10来表示？

（三）、玩一玩，做一做：进一步体验10以内物品数量的守恒。

1、游戏：小燕子变队形，体验物体的数量与物体排列方式无关。

师：你们想不想玩小燕子变队形的游戏？幼儿分两组玩小燕子变变变的游戏。大家边说儿歌，幼儿边变队形，形式无论怎样变，幼儿人数始终不变。

2、拼摆图形卡片，体验物体的数量与大小、排列方式无关。

师：刚才小朋友变队形变得真好，春姑娘为小朋友带来的好玩的礼物，你们看是什么？（图形卡片）

师：小朋友都会用图形卡片拼摆好看的图案，老师把小朋友分四组，每组卡片都不一样，看看哪组的小朋友拼摆的图案最漂亮（注：每位幼儿最多用10张卡片）。完成之后，幼儿欣赏每组的作品，猜一猜是什么图案？用的图形卡片的数量是多少？寻找数量相同，但是图案不同的图形。

教师小结："尽管它们的排列方式不同，但图形卡片的数量不变。

教学反思：

新课程的理念是让每个幼儿都能在原有的基础上得到发展。活动中，我紧紧把握这个理念，使幼儿在积极愉快的气氛中以游戏的形式，让幼儿轻松地认识、理解了学习内容。刚开始，我用了分礼物导入，先让幼儿对10以内的数有一个初步的认识。这个方法还不错，幼儿都能跟上我的节奏。接下来我出示了事先准备的小圆点，让幼儿玩击鼓游戏，幼儿也基本上都能击正确。并且，课上的气氛也是很活跃的，发言也很积极，见得幼儿对看图片数圆点还是感兴趣的。较好地达到了预期设计的活动目标。

中班数学课件(篇9)

活动目标：

1、引导幼儿学习自由排序，让幼儿在自由的探索活动中，尝试和发现不同的排序方法，并体验排序活动的乐趣。

2、发展幼儿的发散性思维，培养幼儿的探索精神。

3、了解排序与我们的生活密切相关，并学习将排序的知识运用到日常生活中。

活动准备：

大小不同的盒子小瓷砖贴条

活动过程：

一：今天，我们来到了米老鼠的家里来做客，米老鼠他别高兴，他给我们带来了礼物盒，引入主题

二：1、老师展示盒子——大盒子里面套小盒子

师：让幼儿按箭头的方向把盒子摆一摆

按从大到小的顺序——按从小到大的顺序

2、第二份礼物——瓷砖

师：让幼儿按照规律把瓷砖装饰到房子上

瓷砖什么地方一样？什么地方不一样？

幼儿：都是正方形颜色不一样大小一样

师：可以按什么样的规律排？

幼儿：三个黄三个红四个黄四个红…..

三：动手操作

让幼儿到桌子旁，按贴条上的箭头有规律的贴瓷砖

四：请幼儿把贴好的瓷砖装饰到房子上，让幼儿说一说自己是按什么规律排的

五：第三份礼物——帽子

请幼儿每人戴一顶帽子，记住自己的颜色

师：可以按什么规律排呢？

幼儿：红——黄——蓝

黄——蓝——红

听老师的口令按箭头方向排列

活动延伸：

根据帽子的眼色按规律排好队，旅行去啦，结束

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找因数课件系列

俗话说，做什么事都要有计划和准备。在日常的学习工作中，幼儿园教师都会提前准备一些能用到的资料。资料可以指人事物的相关多类信息、情报。资料可以帮助我们更高效地完成各项工作。你知不知道我们常见的幼师资料有哪些呢？以下是由小编为大家整理的“找因数课件系列”，欢迎你阅读与收藏。

找因数课件(篇1)

教学内容：

青岛版数学四年级下册第七单元分数加减法信息窗一

教学目标：

1、在合作探究活动中了解公因数和最大公因数的意义，能用列举法和短除法找出100以内两个数的公因数和最大公因数。

2、会在集合图中表示两个数的因数和它们的公因数，体会数形结合的数学思想。

3、在探索公因数和最大公因数意义的过程中，经历列举、观察、归纳等数学活动，进一步发展初步的推理能力。感受数学思考的条理性，体验学习的乐趣。

教学重点：

理解公因数和最大公因数的意义，掌握求两个数公因数和最大公因数的方法。

教学难点：

理解用短除法求最大公因数的算理。

评价任务设计：

1、教师对学生能够利用列举法、短除法找公因数和最大公因数学习情况的评价。

2、教师对学生在学习活动中体会数形结合思想的评价。

3、教师对学生参与学习活动的评价，及时评价不同水平的学生参与学习活动的实际表现。

教学过程：

一、复习导入

师：昨天，老师布置了这样一项课前作业。

师：谁能拿着你的作业到前面来说一说你是怎样分的？（指名答）

师：这个同学把自己的想法表达的非常清楚，我们再来看看他是怎么分的。（课件演示）

问：还有不同分法吗？（生答师演示）

预设：汇报出错，比如4厘米——师引导观察：如果用边长4厘米的小正方形来分的话，长可以分几个呢？这样还能不能把长方形正好分完呢？

师：其他同学还有不同意见吗？

同位互相看一看各自是怎样分的，交流一下自己的想法！

二、认识公因数和最大公因数

1、教学公因数和最大公因数的意义，总结列举法

师：通过研究我们发现，小正方形的边长可以是1厘米、2厘米、3厘米或者是6厘米，最多是几厘米呢？

师：这些小正方形的边长1、2、3、6与长方形的长24和宽18之间有什么关系啊？

生：1、2、3、6是18的因数也是24的因数。

师：我们把18和24的因数都找出来，对比着看一看吧！

师：谁能快速找出18的因数？24的因数又有哪些呢？（指名说）

师：对比观察18和24的因数，你有什么发现？

生：它们的因数中都有1、2、3、6、

师：看来，这和我们刚才的想法是一样的，1、2、3、6既是18的因数，也是24的因数，我们就把1、2、3、6叫做18和24的公因数。

师：公因数中哪个最大啊？生：6最大

师：我们就把6叫做18和24的最大公因数。

师：其实在前面的课前作业中，小正方形的边长就是长方形长与宽的公因数。今天这节课，我们就来研究公因数和最大公因数。

师：刚才我们分别列举出了18和24的因数，又找出它们的公因数和最大公因数，这种找公因数和最大公因数的方法叫列举法。【板书：列举法】

2、教学集合圈

师：为了让大家更直观的看出它们的关系，我们还可以用集合圈的形式表示出来。

24的因数

18的因数

【课件出示】

123612346

91881224

师：左边的集合圈表示的.是18的因数，右边的集合圈表示的是24的因数、因为它们有公因数1、2、3、6，所以我们就把两个集合圈合在一起。

问1：现在你知道左边这一部分表示的什么吗？（指名答）

右边这一部分呢？大家一起说！两个集合圈相交的部分呢？左半部分又表示什么呢？大家一起说右半部分表示的什么？

师：下面请同位互相说一说集合圈中每一部分表示什么。

师小结。

师：现在给你一个集合圈你会填了吗？

师：看到这道题你能不能直接填呢？那应该先怎么办？

生：先找到16和28的因数和公因数，再填集合圈。

师：请同学们先在作业纸上列举出16和28的因数，再填集合圈。

（生独立完成，师巡视）

展示与评价

师：谁来说一说你是怎么填的？（指名汇报）

给大家说说你先填的什么？又填的什么？

指名说一说，及时评价。

师：我们再来看看这位同学的作业。

师：同位互相检查一下，不对的改正过来。

三、认识短除法

1、讲解短除法

师：同学们，除了用列举法找两个数的公因数和最大公因数。还有一种方法也能找出两个数的最大公因数，但是需要你用心观察才能发现，你们愿意接受挑战吗？

师：请大家先把18和24分解质因数。

师：谁来说说你分解质因数的结果？

师：请同学们仔细观察这两个式子，你有什么发现？

生：我发现它们都有质因数2和3、

师：18和24公有的质因数2和3与它们的最大公因数6之间有什么关系呢？生：2乘3等于6

师：根据这个发现我们就可以把两个短除式合并在一起，用短除法来求18和24的最大公因数。

师边板书边讲解……

师：最后把所有的除数连乘起来，就能得到18和24的最大公因数了。

问：现在谁能说说我们是怎样用短除法求18和24的最大公因数呢？（指名学生说一说）

2、练一练

师：下面请你用这种方法求下面每组数的最大公因数，快速的完成在你的作业纸上！

师：谁来说说你是怎么做的？（指名学生展示汇报）

问：你认为他做的怎么样？

四、练习与应用

1、练一练（苏教版P27T1）

师：接下来你能用今天所学的知识解决下面这个问题吗？（课件出示）把它完成在你的作业纸上！

展示汇报

师：我们在找两个数的公因数和最大公因数的时候，除了列举法和短除法以外，我们还可以用这种方法（课件演示、介绍）

2、扎花束

师：同学们！春季运动会马上就要到了，学校花束队买来了两种颜色的花准备来扎花束。（课件出示，师读题目要求）

问：同学们想一想这道题其实在求什么？

师：选择自己喜欢的方法把它完成在练习本上。

问：大家一起告诉我最多能扎多少束？这样每一束花里面有几朵红花？几朵黄花呢？

2、数学知识

师：同学们！早在很久以前，我国古代的数学家就已经在研究我们今天所学的知识了！

五、课堂总结：通过这节课的学习你有哪些收获？

找因数课件(篇2)

一、教学目标

理解质因数和分解质因数的意义，并会用一种方法或自己喜欢的方法分解质因数。

二、教学重点、难点

重点：分解质因数

难点：准确分解

三、预计教学时间：

1节

四、教学活动

（一）基础训练

【口答】

什么是质数？什么是合数？1是什么？

【解答题】

下面各数是质数还是合数？把你判断的填在指定的圈里。

19，21，43，67，27，37，41，51，57，69，83，87，81，91

质数、合数

（二）新知学习

引入：今天，我们学习合数与质数之间关系

揭示课题——分解质因数

【典型例题】

合数

1。看合数21

（1）有多少个因数？并写出：1、3、7、21

（2）回到今天讨论的问题是合数与质数之间的关系，排除1和它本身21，即1×21=21。

（3）只剩下研究3×7=21的问题，表示成21=3×7。那么，3和7叫做21的质因数

（4）质因数与因数的分别？（也就是1和合数做质因数，也就是分解质因数中不能有1和合数；什么数都可以做因数）

2。研究讨论合数的分解方法。

（1）“树枝”图式分解法。

（2）“短除法”分解质因数。

3。把27，51，57，87，81分解质因数

【小结】（分解质因数时，你认为应注意什么？）

（三）巩固练习（10题）

【基础练习】

1。判断下面的横式哪些是分解质因数？哪些不是？理由？

24=2×2×6、6=1×2×3、60=2×2×3×5

2。把分解不正确的改正过来。

【提高练习】

把16，12，45，56分解质因数。

【拓展练习】

把下面各数分解质因数，并分别写出它们所有的因数。

分解质因数、因数

15、15=

18、18=

20、20=

找因数课件(篇3)

《最大公因数》教学设计

教材来源：小学五年级《数学》教科书/人民教育出版社

内容来源：小学五年级数学（下册）第四单元

主题：最大公因数

课时：共14课时，第10课时

授课对象：五年级学生

设计者：朱丽娟/中牟县商都路小学

目标确定的依据

1.课程标准内容目标中的相关要求

能准确判断约分的结果是不是最简分数。

2.教材分析

教材之前已经引入过分数的基本性质、公因数和最大公因数，已经对本节课做了很好的铺垫。

3.学情分析

学生之前已经学过分数和分数的基本性质，并且学生对分数的基本性质掌握的很好，本节是利用分数的基本性质来进入约分，学生理解起来就相对来说很简单，顺理成章。

学习目标

1、通过学生独立思考、小组合作交流，使学生掌握约分的方法，并能够正确、熟练的进行约分。

2、通过学-教-导的问题解决的过程，培养学生独立思考、小组交流解决问题的能力，让学生感悟到合作学习的魅力。

评价任务

任务1：理解约分和最简分数的意义，掌握约分的方法。

教学过程

教学环节

学生的学

教师的教

评价要点

动态修改

环节一

复习导入

学生独立完成。

1写出下面各组数的最大公因数。

15和12（）48和56（）

2在括号里填上适当的数

====

教师追问：你们这样填的依据是什么？

学生能做对这些题，并回忆起分数的基本性质。

环节二

探究新知，及时检测。

学生分组交流、讨论

教师提问:A,有一个分数24/30,你能不能找到与它大小相等,而分子分母又比它的分子分母小的分数

学生能够找出12/158/104/5

跟老师一起认识约分

板书:24/30=(24÷2)/(30÷2)=12/15

12/15=(12÷3)/(15÷3)=4/5

像这样，把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。

教师提问：找到4/5以后为什么不继续找了？

教师陈述：4/5的分子和分母只有公因数1，像这样的分数叫做最简分数。

学生能够理解约分和最简分数的概念。

学生独立做题。最简分数有：15/1610/2117/3031/916/11

教师出示课件：你知道下面哪些数是最简分数？

15/1610/2117/30

20/4531/914/18

6/119/15

教师提问：什么是最简分数？

给出一些分数，学生能找出哪些是最简分数。

学生独立完成12/30约分

12/30约分

环节三

实践运用

1,p113.1

2,找出最简分数.[课件4]

2/36/89/125/65/1821/2834/51

找因数课件(篇4)

各位老师大家好！

今天我说课的题目是苏教版教材五年级上册《公因数和最大公因数》。

分析教材

本课是苏教版教材五年级上册第三单元《公倍数和公因数》中的内容。在四年级（下册）教材里，学生已经建立了倍数和因数的概念，会找10以内自然数的倍数，100以内自然数的因数。本单元继续教学倍数和因数的知识，要理解公倍数、最小公倍数和公因数、最大公因数的意义，学会找两个数的最小公倍数和最大公因数的方法。为以后进行通分、约分和分数四则计算作准备。

《课程标准》要求学生“动手操作、自主探索、合作交流”，结合教材的特点，我力求达到下面的教学目标：

1、经历找两个数的最大公因数的过程，理解公因数和最大公因数的意义。探索找公因数的方法，会正确找出两个数的公因数和最大公因数。

2、结合具体实例，渗透集合思想，培养学生有序思考的能力，让学生养成不重复、不遗漏、不重复的思考习惯。

3、培养学生能用自己的语言表述自己的发现，善于发现规律，利用规律解决问题的能力。

依据《课程标准》的要求和教学目标，我确定本课教学重点是理解公因数和最大公因数的意义，教学难点是会求两个数的公因数和最大公因数。

设计理念

在教学中我发挥“教师是学习活动的组织者、引导者与合作者”的作用， 激发学生兴趣、引导学生自己探索。学生才是学习的主体，让学生在玩中学、学中玩，合作交流中学、学后合作交流并根据学生原有的认识基础和认知规律，并结合“以学生的发展为本“的理念, 力求突出以下三点：

1、将教学内容活动化，让学生在做中学。

2、采用小组合作学习，让学生在交往互动中学。

3、充分利用原有的认知经验，在迁移中学。

教学过程

依据教材特点及小学生认知规律和发展水平，整个教学过程安排了四个环节：

一、 活动探究，认识公因数

分为五个步骤：

1、动手操作：在教学公因数的概念时，让学生经历操作思考的过程，认识公因数。首先让学生用事先准备好的小长方形纸片，分别用边长6厘米和边长4厘米的正方形纸片铺满一个长18厘米、宽12浪漫的的长方形操作活动。通过学生的操作，引导学生观察正方形的边长与长方形的长、宽之间的关系，让学生看看正方形每条边各铺了几次？怎样用算式表示？，来说明为什么？

2、想象延伸：接下来让学生思考还有那些边长是整厘米数的正方形也能铺满大长方形。学生思考后，回答边长是1厘米，2厘米，3厘米的正方形也能铺满大长方形。引导学生说出只要边长“既是”18的因数“又是”12的因数，就能铺满大长方形。从而引出公倍数的概念，再强调因为一个数的因数的个数是有限的，所以两个数的公因数的个数也是有限的（最小是1），让学生在自主参与、发现、归纳的基础上认识并建立公因数的概念的过程。

3、归纳总结：只要正方形的边长既是12的因数又是18的因数，这样的正方形就能铺满大长方形。1、2、3、6既是12的因数又是18的因数，它们就是12和18的公因数。

4、根据 学生的总结我及时板书课题，让学生的形象思维转变成抽象思维。

5、反例教学：让学生说明4是12和18的公因数吗？为什么？

学生通过上面的一正一反教学总结出：公因数要同时是两个数的因数。

为了及时巩固，完成练一练：先让学生在图上画一画，找出公因数和最大因数，填写在书上。

（设计目的：通过具体的操作和交流活动，帮助学生理解公因数，使知识不在枯燥无。让学生到感受成功的喜悦。）

二、自主探索，求最大公因数：

学生在已经掌握公因数概念的基础上，让学生学习怎样找两个数的公因数，学以致用。教学例4时，让学生独立思考，自主探索解决问题的方法，然后小组交流。通过具体的运用，巩固公因数的概念。让学生说说怎样找12和18的公因数，学生可能说三种方法，一是先找12的因数，从12的因数中找18的因数；二是先找18的因数，再从中找出12 的因数，三是分别找出12和18的因数，再找出相同的因数。通过比较三种方法，让学生感受哪种方法比较简捷。在此基础上，揭示最大公因数的含义，并介绍用集合圈的形式来表示12和18的公因数和最大公因数，明确集合图中省略号的作用。

（设计目的：通过学生自主学习，弄清怎样用集合图来表示两个数的公因数。帮助学生更加直观地理解概念，感受数学方法的严谨性。）

三、 综合实践、学以致用

为了体现数学来源与生活，用与生活的理念我设计三个层次的练习：

首先设计关于公因数和最大公因数的概念判断题，进一步让学生对公因数和最大公因数的认识。做到知识和技能融为一体。

接着让学生完成练习五第1题。学生独立完成后交流。

然后分别完成2、3题。小组交流。

（练习的设计是从认识到理解，再到拓展应用，逐层加深，培养学生抽象概括能力和合作意识，教学由课内到课外延伸，增加运用实践机会。）

四、全课小结、过程回顾

这节课我们认识了两个数的公因数和最大公因数，说说你掌握的方法。

学生回忆整堂课所学知识。学生通过这一环节可以将整个学习过程进行回顾、按一定的线索梳理新知，形成整体印象，便于知识的理解记忆。

找因数课件(篇5)

教学内容：北师大版五年级数学上册第三单元《找因数》

教学目标：1、在用小正方形拼长方形的活动中，体会找一个数因数的方法，提高有条理思考的习惯和能力。

2、在1--100的自然数中，能找到一个数的全部因数。

教学重点：用小正方形拼长方形的活动中，体会找一个数的因数的方法.

教学难点：体会找一个数因数的方法，能准确、有条理的找出一个数的因数。

教具准备：课件、小正方形。格子纸。

教学方法：通过动手操作与观察讨论、分析、比较、归纳。

教学过程：

一、复习导入

同学们，前面我们学习了倍数和因数的知识，我想考考大家，你们接受挑战吗？

一起来看大屏幕

出示课件：根据下列算式说说谁是谁的倍数？谁是谁的因数？

6×5=30 24÷3=8

12÷1=12 3×5=15

谁来大声读一读题目，你们会吗？谁来说第一题？

师生互动，共同解决。

通过这一组的练习，我感觉同学们掌握知识还是不错的，那么今天呀，我们就一起来学习找因数

板书课题:找因数

二、探究新知

同学们,你们平时喜欢玩拼图游戏吗？那今天这节课我们就先玩一个拼图游戏，用你手中的小正方形来拼长方形，我们一起来看看有什么活动要求。

出示大屏幕：

用12个小正方形拼成一个长方形，有哪几种拼法？在方格纸上画一画，并用算式表示。

以小组为单位，开始吧！

1、学生：用12个小正方形拼成一个长方形

教师巡视，指导学生

师：把你拼的长方形在方格纸上画出来。

下面我们一起来交流一下吧！

学生边汇报，边到前面进行演示

看一下能拼出几种长方形？

你是怎样拼的，说说好吗？

你又是怎样画的呢？

学生边汇报，边到前面进行演示

画出三种长方形。（因为形状一样，只是位置和方向变了）

2、找一个数因数的方法。

师：同学们用12个小正方形摆出了三种长方形，你能把这些摆法用算式写出来吗？

1×12=12 2×6=12 3×4=12

你能找出12的全部因数吗？

同桌讨论交流

指名回答，然后问你是怎样找的？

生：用乘法口诀一对一对找的。

谁乘谁等于12，这两个乘数就是12的因数。

师：为了不重复、不遗漏，还应按一定的顺序排列起来。

谁能按从小到大的顺序说出来？

师板书：12的因数有：1，2，3，4，6，12。

谁来说一说：12的因数和拼成的长方形有什么关系呢？

拼长方形的方法就是找12的全部因数的方法。

3、我们还可以利用除法算式找一个数的全部因数

师：当被除数是12时，你能想到哪几道除法算式？

学生思考，交流，指名回答

师板书：12÷1=12，12÷2=6，12÷3=4

12÷12=1，12÷6=2，12÷4=3

能找到12的全部因数吗？你是怎样想的？

引导学生说出只要算到12÷4=3出现重复就不要再算了。

谁能按顺序说出来？

12的因数有：1，2，3，4，6，12。

练习：找出18的全部因数，同桌相互交流

汇报，你是怎样想的？

18的因数有：1，2，3，6，9，18。

生1：利用乘法算式一对一对的找，两个乘数重复了就不再往下找了。生2：利用除法算式找时，除数和商重复时就找全了一个数的因数。

4：小结：怎样找一个数的全部因数呢?

找一个数的全部因数：用乘法算式，可以利用乘法口诀一对一对的找，也可以用除法算式，一对一对的找，并且要有顺序的找，这样既不重复，又不遗漏。

三、巩固练习

1、师：刚才我们已经学会了用小正方形拼长方形，然后从中找出一个数的因数，下面我们共同看38面的第1题。

在课本上画长方形，使得它的面积是16平方厘米，边长是整厘米数。(每个小方格的边长是1cm)

全班齐练，展示作品，订正

1×16=16 2×8=16 4×4＝16

16的因数：1，2，4，8，16。

2、第2题：写出24的全部因数，并说一说你是怎么找的？

24的全部因数：

3、第3题：填一填，独立完成，完成后集体交流想法

四、总结：这节课有什么收获？

五、作业：课下思考练一练的第4、5题

板书设计：

找因数

1×12=12 2×6=12 3×4=12

12的因数有：1，2，3，4，6，12

12÷1=12 12÷2=6 12÷3=4

12的因数有：1，2，3，4，6，12

找因数课件(篇6)

师：在写12的因数时，我们可以一对一对的写，（课件出示： 1、12、2、6、3、4. ）也可以从两头开始写（板书：1、2、3、4、6、12.）找全了画一个句号。

3、过渡：12的因数我们已经会找了，那么你能用学到的知识找到18的因数吗？试一试，看谁能挑战成功！

学生尝试，独立在本上完成。

教师巡视，找出几个问题学生和完全写对的学生的作业，在视频台上展示。

学生说如何找全的方法，强化“有序”“一对一对的找”。

学生在学号纸上独立完成，指名板演2的因数，24的因数，25的因数，1的因数。

做完的同学，互相检查纠错。

师：谁刚才帮别人找到错误了？（评价：你已经熟练的掌握了找因数的方法，真棒！还有谁是最棒的？祝贺你们）

师：现在我们来看这些数的因数，个数有多有少，最少的是谁？（“1”）最大最小都是它自己。“2”的最小因数是几？最大因数是几？谁还能像老师这样说一说？

学生说出“24”和“25”的最小因数和最大因数各是多少。

通过找这些数的因数，从中你发现了什么？学生回答：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。

其他同学根据发现的规律自己检验，并用彩笔圈起来。

小结：虽然一个数，它因数的个数有多有少，但最小的因数是1，最大因数是它本身。1的因数只有1。因为一个数的因数有最大和最小，所以个数是有限的。（板书在表格里）。

四、找一个数的倍数。

1、过渡：我们已经学会了找一个数的因数，那么怎样找一个数的倍数呢？你能像找一个数的因数那样有序的找吗？相信这个问题也一定难不倒大家，咱们先来试一个简单的，找2的倍数，看你能找多少个。

2、学生独立找，找好后在小组中交流。

3、汇报展示，交流方法。

引导：你能按从小到大的顺序找2的倍数吗？能写得完吗？怎么办？

明确方法：用2分别乘1、2、3、4……得到的积都是2的倍数。

4、表示方法：2的倍数有2，4，6，8，10，…（一般写完前5个，就可以用省略号表示）；集合图。

5、写出自己学号的倍数。

学生独立完成，指名两生板演（3的倍数，5的倍数，1的倍数），纠正错误。

交流汇报：一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数，个数是无限的。

找因数课件(篇7)

教材直接呈现了找公因数的一般方法：先用想乘法算式的方式分别找出12和18的因数，再找出公因数和最大公因数。在此基础上，引出公因数与最大公因数的概念。教材用集合的方式呈现探索的过程。在练习1、2中引出了用因数关系、互质数关系找最大公因数，教师要引导学生发现这个方法并会运用。

本册一单元，学生已经理解了因数和倍数的意义，能用乘法算式、集合等方式列举出一个数的因数。因此用列举法找最大公因数没有困难。而利用因数关系、互质数关系找还有一定的难度。因为学生不易发现这两个数具有这些关系。

1、探索找两个数的公因数的方法，会用列举法找出两个数的公因数和最大公因数。

2、经历找两个数的公因数的过程，理解公因数和最大公因数的意义。

3、通过观察、分析、归纳等数学活动，体验数学问题的探索性和挑战性，感受数学思考的'条理性。

教学关键：用列举法找出两个数的因数，然后有序地筛选出公因数。

教学时，教师先让学生自己分别找出12和18的因数，并交流找因数的方法。再让学生将这些因数填入两个相交的集合。引导学生重点思考的问题是：两个集合相交的部分填哪些因数？这时要组织学生展开讨论，引导学生理解“两个数公有的因数是他们的公因数，其中最大的一个是它们的最大公因数。”当学生练习时，再引导学生发现用因数关系和互质数关系找最大公因数。学生对本课知识熟练掌握后，再补充用短除法找最大公因数。

（1）师：除了3和4是12的因数，12的因数还有哪些？

师：在这两个圈里，应该填上什么数？请大家完成正在书45页上。

生做后汇报师板书于圈中。

（2）师：请大家找一找在12和18的因数中，有没有相同的因数，相同的因数有哪几个。

师：像这样，既是12的因数，又是18的因数，我们就说这些数都是12和18的公因数。

师：6就是12和18的最大公因数。这就是我们这节课学习的内容——找最大公因数。

汇报：中间区域是12的因数和18的因数的交叉区域，所填的数应该既是12的因数又是18的因数，也就是12和18的公因数填在这里。

找因数课件(篇8)

一、教学过程：

（一）动手操作，感受并认识因数与倍数。

1、老师和同学们都在课前准备了几个小正方形，如果用这些小正方形拼成一个长方形，可以怎么拼？（让学生独立拼摆）

2、全班交流，请学生上黑板拼一拼，拼法用乘法算式表示出来。

指出：有三种拼法，列出三个不同的乘法算式，今天我们研究的内容就藏在着三个算式中。

3、教师选择一个算式指出4×3=12，4是12的因数，12是4的倍数，看这个算式还可以说：谁是谁的因数？谁是谁的倍数吗？

4、揭示课题：倍数和因数。

5、看其他两个算式，你还能说什么吗？你觉得哪个算式给你的感觉有些特别？

6、自己写一个乘法算式，让你的同桌说一说谁是谁的因数，谁是谁的倍数，选一些特殊的例子：如0×8=0的形式16÷2=8。辨析：能不能说16是倍数，2是因数。

7、完成想想做做（1）。

8、完成想想做做（2）。（交流：应付元数与4元有什么关系？省略号表示什么意思？从这个省略好你知道了什么？）

9、想想做做（3）。（从中发现了什么？24有那些因数？最大的是几？最小的是几？）

（二）找倍数和因数。

1、找一个数的倍数（让学生自己在纸上写，然后交流：你是怎么找的？）

提问：

（1）3的最小的倍数是几？最大的呢？

（2）3的倍数有无数个，那么该怎么表示？

2、完成试一试。

反思：怎样找一个数的倍数比较方便？一个数的倍数最小是几？找得到最大的倍数吗？

3、找一个数的因数。

先让学生独立找36的因数，再进行交流。

提问：36最小的因数是几？最大的呢？怎样找才能保证不重复不遗漏？对好的方法及时的给以肯定。

完成试一试

4、提问：15的最小因数是几？最大的因数是几？16呢？你有什么发现？

5、巩固练习：

（1）4的倍数有：

（2）25以内4的倍数有：

（3）30的因数有：

（4）15的因数有：

（三）课堂小结：略。

（四）作业布置：

1、6的倍数有：

2、7的倍数有：

3、100以内9的倍数有：

4、24的因数有：

5、11的因数有：

二、教学反思：

本节课重点围绕“理解倍数和因数的含义，能按要求找出一个数的倍数和因数”进行教学。在写一个数的倍数和因数时，要让学生经历探索的过程，在相互交流时，得出最优的方法，在探索倍数和因数的规律时，既不能让学生毫无目的的去探究，也不能把这个结论直接告诉学生。

先出示一些具体的数，从这些具体的数的基础上进行探究，起到了较好的效果。在探究一个数的因数的方法时，先在前面孕伏着除法中也有倍数和因数，为探究一个数的因数埋下了伏笔。这个方法要比倍数的方法难一些，教师要有耐心，把学生的方法全部板书在黑板上，然后通过比较，发现商也是这个数因数，又发现一个数的因数，是成队出现的，所以怎样做到既不重复，又不遗漏，就要有序思考，与前面学过的找规律的方法有机地联系在一起。

数列的课件(系列15篇)

每个老师都需要在课前准备好自己的教案课件，本学期又到了写教案课件的时候了。写好教案，才能让课堂教学更完整，怎样的教案课件算为优秀？这份特别挑选的“数列的课件”一定值得您一试，请收藏这个网页方便你下次再来查看！

数列的课件(篇1)

教学准备

教学目标

知识目标：使学生掌握等比数列的定义及通项公式，发现等比数列的一些简单性质，并能运用定义及通项公式解决一些实际问题。

能力目标：培养运用归纳类比的方法发现问题并解决问题的能力及运用方程的思想的计算能力。

德育目标：培养积极动脑的学习作风，在数学观念上增强应用意识，在个性品质上培养学习兴趣。

教学重难点

本节的重点是等比数列的定义、通项公式及其简单应用，其解决办法是归纳、类比。

本节难点是对等比数列定义及通项公式的深刻理解，突破难点的关键在于紧扣定义，另外，灵活应用定义、公式、性质解决一些相关问题也是一个难点。

教学过程

二、教法与学法分析

为了突出重点、突破难点，本节课主要采用观察、分析、类比、归纳的方法，让学生参与学习，将学生置于主体位置，发挥学生的主观能动性，将知识的形成过程转化为学生亲自探索类比归纳的过程，使学生获得发现的成就感。在这个过程中，力求把握好以下几点：

①通过实例，让学生发现规律。让学生在问题情景中，经历知识的形成和发展，力求使学生学会用类比的思想去看待问题。②营造民主的教学氛围，把握好师生的情感交流，使学生参与教学全过程，让学生唱主角，老师任导演。③力求反馈的全面性、及时性。通过精心设计的提问，让学生思维动起来，针对学生回答的问题，老师进行适当的调控。④给学生思考的时间和空间，不急于把结果抛给学生，让学生自己去观察、分析、类比得出结果，老师点评，逐步养成科学严谨的学习态度，提高学生的推理能力。⑤以启迪思维为核心，启发有度，留有余地，导而弗牵，牵而弗达。这样做增加了学生的参与机会，增强学生的参与意识，教给学生获取知识的途径和思考问题的方法，使学生真正成为教学的主体，使学生学会学习，提高学生学习的兴趣和能力。

三、教学程序设计

(4)等差中项：如果a 、 A 、 b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。

说明：通过复习等差数列的相关知识，类比学习本节课的内容，用熟知的等差数列内容来分散本节课的难点。

2.导入新课

本章引言中关于在国际象棋棋盘各格子里放麦粒的问题中，各个格子的麦粒数依次是:

1 , 2 , 4 , 8 , … , 263

再来看两个数列：

5 ， 25 ，125 ， 625 ， ...

···

说明：引导学生通过“观察、分析、归纳”，类比等差数列的定义得出等比数列的定义，为进一步理解定义，给出下面的问题：

判定以下数列是否为等比数列，若是写出公比q，若不是，说出理由，然后回答下面问题。

-1 , -2 , -4 , -8 …

-1 , 2 , -4 , 8 …

-1 , -1 , -1 , -1 …

1 , 0 , 1 , 0 …

提出问题：(1)公比q能否为零?为什么?首项a1呢?

(2)公比q=1时是什么数列?

(3)q>0是递增数列吗?q

说明：通过师生问答，充分调动学生学习的主动性及学习热情，活跃课堂气氛，同时培养学生的口头表达能力和临场应变能力。另外通过趣味性的问题，来提高学生的学习兴趣。激发学生发现等比数列的定义及其通项公式的强烈欲望。

3.尝试推导通项公式

让学生回顾等差数列通项公式的推导过程，引导推出等比数列的通项公式。

推导方法：叠乘法。

说明：学生从方法一中学会从特殊到一般的方法，并从次数中去发现规律，以培养学生的观察能力;另外回忆等差数列的特点，并类比到等比数列中来，培养学生的类比能力及将新知识转化到旧知识的能力。方法二是让学生掌握“叠乘”的思路。

4.探索等比数列的图像

等差数列的图像可以看成是直线上一群孤立的点构成的，观察等比数列的通项公式，你能得出什么结果?它的图像如何?

变式2.等比数列{an}中，a2 = 2 , a9 = 32 , 求q.

(学生自己动手解答。)

说明：例1的目的是让学生熟悉公式并应用于实际，例2及变式是让学生明白，公式中a1 ,q,n,an四个量中，知道任意三个即可求另一个。并从这些题中掌握等比数列运算中常规的消元方法。

6.探索等比数列的性质

类比等差数列的性质，猜测等比数列的性质，然后引导推证。

7.性质应用

例3.在等比数列{an}中，a5 = 2 , a10 = 10 , 求a15

(让学生自己动手，寻求多种解题方法。)

方法一：由题意列方程组解得

方法二：利用性质2

方法三：利用性质3

例4(见教材例3)已知数列{an}、{bn}是项数相同的等比数列，求证:{an·bn}是等比数列。

8.小结

为了让学生将获得的知识进一步条理化，系统化，同时培养学生的归纳总结能力及练习后进行再认识的能力，教师引导学生对本节课进行总结。

1、等比数列的定义，怎样判断一个数列是否是等比数列

2、等比数列的通项公式，每个字母代表的含义。

3、等比数列应注意那些问题(a1≠0,q≠0)

4、等比数列的图像

5、通项公式的应用 (知三求一)

6、等比数列的性质

7、等比数列的概念(注意两点①同号两数才有等比中项

②等比中项有两个，他们互为相反数)

8、本节课采用的主要思想

——类比思想

9.布置作业

习题3.4 1②、④ 3. 8. 9.

10.板书设计

数列的课件(篇2)

分总文段一般有明显特点，尾句或者结尾出现明显的提示词：总之、可见、可得、总而言之、综上所述、从这个意义上讲等，总结句之后，就很可能是文段的主旨。一般分总文段，经常考到的行文有：分析论述-得出结论、提出问题-解决问题。因而，对于分总文段，我们可以结合标志词和行文，重点关注尾句。

【例1】汪曾祺曾说语言不是外部的东西，它是和内在的思想同时存在，不可剥离的。在他看来写小说就是写语言，语文课学的是语言，但语言不是空壳，而是要承载各种各样的思想、哲学、伦理、道德的。怎么做人，如何对待父母兄弟姐妹，如何对待朋友，如何对待民族、国家和自己的劳动等，这些在语文课里是与语言并存的。从这个意义来讲，语文教育必须吸收和继承传统文化，而诗歌无疑是传统文化的集大成者。

这段文字意在说明：

a.诗歌中包含丰富的思想、伦理和道德元素。

b.脱离内在思想的语文教育是空洞无物的。

c.必须重视诗歌在语文教育中的作用。

d.语文教育需要和思想品德教育同步进行。

【答案】c。解析：文段首先指出汪曾祺认为语言与内在思想同时存在不可剥离;接着对此进行了具体阐释，指出语文课学的不仅是语言，还有如何为人处世;最后由“从这个意义来讲”作总结，指出语文教育必须重视吸收和继承传统文化，尤其是诗歌这个传统文化的集大成者。可见，文段最后落脚在语文教育必须重视诗歌，c项表述与此相符，当选。

【例2】外科手术和放、化疗对癌症治疗的效果可以肯定，但不满意。由于存在对自身的损伤，加剧了正不胜邪的矛盾，给癌细胞复活繁殖以可乘之机，一旦复活，卷土重来，而自身正气削弱殆尽，无力抵挡，导致复发率高，存活率低的结果。若能与中医在理、法、方、药实际内涵上切实融合，杜绝形式上的凑合，定能弥补这种不满意，使正不胜邪转化为邪不胜正，则可望获得圆满结果。

这段文字意在说明：

a.癌症有着复发率高、存活率低的特点。

b.中医可能会对癌症的治疗起到意想不到的效果。

c.外科手术等西医的方法并不能从根本上治疗癌症。

d.运用中西医结合的方法可能会从根本上治愈癌症。

【答案】d。解析：文段首先介绍了西医治疗癌症的弊端，接着指出若能把中西医切实融合起来，弥补西医的欠缺，则可能产生良好的治疗效果。由此可知，文段强调的是运用中西医结合方法治疗癌症。d项表述与此相符，当选。a项为问题论述部分。b项文段没有涉及。c项“不能从根本上治疗癌症”说法过于绝对。故本题选d。

数列的课件(篇3)

高中数列，有规律可循的类型无非就是两者，等差数列和等比数列，这两者的题目还是比较简单的，要把公式牢记住，求和，求项也都是比较简单的，公式的运用要熟悉。

题目常常不会如此简单容易，稍微加难一点的题目就是等差和等比数列的一些组合题，这里要采用的一些方法有错位相消法。

题目变化多端，往往出现的压轴题都是一些从来没有接触过的一些通项，有些甚至连通项也不给。针对这两类，我认为应该积累以下的一些方法。

对于求和一类的题目，可以用柯西不等式，转化为等比数列再求和，分母的放缩，数学归纳法，转化为函数等方法等方法

对于求通项一类的题目，可以采用先代入求值找规律，再数学归纳法验证，或是用累加法，累乘法都可以。

总之，每次碰到一道陌生的数列题，要进行总结，得出该类的解题方法，或者从中学会一种放缩方法，这对于以后很有帮

1、调动兴趣是关键：因为我喜欢数学，所以我愿意去学它，所以我在学习过程中遇到任何艰难险阻也愿意去克服;克服困难所得来的成功体验又增强了我学习的兴趣和信心，所以我更喜欢学数学了。

2、化抽象为生动：比如在讲例题的时候，结合题目给学生讲一些顺口溜、数学故事、数学发展史、生活中的数学等。让学生感到数学就在身边。比如华罗庚的数形结合顺口溜“数与形，本相依，焉能分作两边飞。数缺形时，难直觉;形缺数时，难入微。代数几何本一体，永远联系莫分离。”生活中的数学包括身边的事、新闻时事等，比如：让学生适度参与现在很多父母都热衷的股票问题;自己家里每月消费多少米，多少油，多少盐等，人均消费多少;今年淮河流域出现洪灾，泄洪时就需要考虑上游水位和下游河道宽的关系等等。

3、化抽象为形象：现在的学生大都对电脑感兴趣，如果从这一点入手引导学生学数学，是个很好的办法。郑州一所重点中学的刘老师用几何画板让学生形象直观的体会数学知识，学生在学几何画板的同时，学数学的积极性也被调动起来了。

4、成功体验的积累：兴趣与成就感往往有很大关系。每个孩子都有想成为研究者、发现者的内在愿望，都有被认同和赏识的需要，都希望取得成就和进步。教育者应该善于发现学生的一点点进步，给不同学生提不同的要求，让他们有机会成功，体会成功时的成就感。

5、营造学数学的环境：比如家里的书架上可以放一些数学相关的书籍如《速算秘诀》《中学生数理化》《好玩的数学系列》《训练思考能力的数学书》《故事中的数学》等，并推荐孩子阅读。学校里也可以营造这样的氛围。有位老师说：“我每天课间时间都会坐在教室门口，拿起一本书来看。总会有几个学生来问我看的是什么书，一问一答之间他们就对我手里的书感兴趣了。几天后我就会发现，有一两个学生带头借了这本书。再过一阵子，这本书就风靡全班了。”

6、打牢基础也可以通过做题来实现，这跟题海战术不同，有的学生可能做两道题就弄懂了，那他就不需要再做，有的学生可能需要做20道题，总之，为了达到最好的理解和记忆效果，让学生自己理解知识点之后，再多做1-2道题，达到150%的理解和记忆效果。

数列的课件(篇4)

教学目标

熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

教学重难点

熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

教学过程

【复习要求】熟悉与数列知识相关的背景，如增长率、存款利息等问题，提高学生阅读理解能力、抽象转化的能力以及解答实际问题的能力，强化应用仪式。

【方法规律】应用数列知识界实际应用问题的关键是通过对实际问题的综合分析，确定其数学模型是等差数列，还是等比数列，并确定其首项，公差或公比等基本元素，然后设计合理的计算方案，即数学建模是解答数列应用题的关键。

一、基础训练

1、某种细菌在培养过程中，每20分钟x一次一个x为两个，经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成

A、511B、512C、1023D、1024

2、若一工厂的生产总值的月平均增长率为p，则年平均增长率为

A、B、

C、D、

二、典型例题

例1：某人每期期初到银行存入一定金额A，每期利率为p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是n—1Ap……，第n期即最后一期的利息是Ap，问到第n期期末的本金和是多少？

评析：此例来自一种常见的存款叫做零存整取。存款的方式为每月的某日存入一定的金额，这是零存，一定时期到期，可以提出全部本金及利息，这是整取。计算本利和就是本例所用的有穷等差数列求和的`方法。用实际问题列出就是：本利和=每期存入的金额[存期+1/2存期存期+1利率]

例2：某人从1999到20xx年间，每年6月1日都到银行存入m元的一年定期储蓄，若每年利率q保持不变，且每年到期的存款本息均自动转为新的一年定期，到20xx年6月1日，此人到银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取回，则取回的金额是多少元？

例3、某地区位于沙漠边缘，人与自然进行长期顽强的斗争，到1999年底全地区的绿化率已达到30%，从20xx年开始，每年将出现以下的变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀，变为沙漠。问经过多少年的努力才能使全县的绿洲面积超过60%。lg2=0.3

例4、流行性感冒简称流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月分曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染着减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新的患者人数最多？并求这一天的新患者人数。

数列的课件(篇5)

1.能正确计算有关0的加减法。

2..培养学生良好的书写习惯和想像能力。重点难点。

弄懂有关0的加减法计算的算理并能正确计算有关0的加减法。教学准备课件，口算卡片教学过程：

3-3=0表示什么意思？（窝里原来有3只小鸟，飞走了3只，窝里现在一只也没有了，用0表示）。

先让学生观察，说图意，老师引导：

左边荷叶上有几只青蛙，右边荷叶上有几只？两片荷叶上一共有几只？用什么方法计算，怎样列式？教师一一板书：4+0=4（4）想一想：5-0=0+0=先说算式的含义，再说得数。课堂小结：

提问：今天，我们学习了什么？你有什么收获？

小结：今天，我们认识了0，知道0表示什么也没有，还表示起点，并且学会了0的正确写法。还会正确计算有关0的加减法。教学反思：

1.充分利用教材的资源，将教材静态的图动态化，让学生在生动有趣的故事情节中体会从有到无这个动态的变化过程，更好地理解0的含义。

2.同时提倡算法多样化，学生根据自己不同的理解计算有关0的加减法。

数列的课件(篇6)

设计思路

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面， 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法。

教学过程：

一、片头

（30秒以内）

前面学习了数列的概念与简单表示法，今天我们来学习一种特殊的数列－等差数列。本节微课重点讲解等差数列的定义， 并且能初步判断一个数列是否是等差数列。

30秒以内

二、正文讲解（8分钟左右）

第一部分内容：由三个问题，通过判断分析总结出等差数列的定义 60 秒

第二部分内容：给出等差数列的定义及其数学表达式50 秒

第三部分内容：哪些数列是等差数列？并且求出首项与公差。根据这个练习总结出几个常用的结152秒

三、结尾

（30秒以内）授课完毕，谢谢聆听！30秒以内

自我教学反思

本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此基础上学会判断一个数列是否是等差数列，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程。

它山之石可以攻玉，以上就是范文为大家整理的6篇《高一数学等差数列教案》，能够给予您一定的参考与启发，是范文的价值所在。

数列的课件(篇7)

数列极限教学设计

复习目的：1.理解数列极限的概念，会用“”定义证明简单数列的极限。

2.掌握三个最基本的极限和数列极限的运算法则的运用。

3.理解无穷数列各项和的概念。

4.培养学生的推理论证能力、运算能力，提高学生分析问题，解决问

题的能力。

教学过程：

问题1：根据你的理解，数列极限的定义是如何描述的？

数列极限的定义：对于数列{an},如果存在一个常数A，无论事先指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN,使得这一项后的所有项与A的差的绝对值小于，（即当n>N时，记

时，an趋近于A的无限性，即趋近程度的无（1）的任意性刻划了当

限性（要有多近有多近）。

（2）N的存在性证明了这一无限趋近的可能性。

问题3：“

问题4：“”定义中的N的值是不是唯一？ ”定义中，

因为N时，an对应的点都在区间（A-

问题5：利用“，A+）内。”定义来证明数列极限的关键是什么？ N时，立）。

问题6

：无穷常数数列有无极限？数列呢？数列

（

三个最基本的极限：（1）C=C，（2）=0，（3）=0（

问题7

：若=A，=B，则（）=？，（）=

？，=

？，=？。数列极限的运算法则：（）=A+B，（）=A-B，=AB，=（B0）。

即如果两个数列都有极限，那么这两个数列对应项的和，差，积，商组成新数列的极限分别等于它们极限的和，差，积，商。（各项作为除数的数列的极限不能为零)

问题8：（，）

=

++

+=0对吗？ 运算法则中的只能推广到有限个的情形。

问题9：无穷数列各项和s是任何定义的？ s=,其中为无穷数列的前n项和，特别地，对无穷等比数列（

．用极限定义证明：

例2．求下列各式的值

（2）[（）=，]

（2）（）

例3

．已知例4

．计算：

（++）=0，求实数a,b的值。+，例5．已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，它的前n项和为

小结：本节课复习了数列极限的概念，运算法则，三个最基本的极限，无穷数列各项和的概念，以及它们的运用，主要是利用数列极限概念证明简单数列的极限，利用运算法则求数列的极限，（包括已知极限求参数），求无穷数列各项和。

数列的课件(篇8)

目的：

要求学生理解数列的概念及其几何表示，理解什么叫数列的通项公式，给出一些数列能够写出其通项公式，已知通项公式能够求数列的项。

按一定次序排列的一列数叫做数列。数列中的每一个数叫做数列的项，数列的第n项an叫做数列的通项（或一般项）。由数列定义知：数列中的数是有序的，数列中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的。

2．数列的通项公式，如果数列{an}的通项an可以用一个关于n的公式来表示，这个公式就叫做数列的通项公式。

从映射、函数的观点看，数列可以看成是定义域为正整数集N*（或宽的有限子集）的函数。当自变量顺次从小到大依次取值时对自学成才的一列函数值，而数列的通项公式则是相应的解析式。由于数列的.项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点。

难点：

根据数列前几项的特点，以现规律后写出数列的通项公式。给出数列的前若干项求数列的通项公式，一般比较困难，且有的数列不一定有通项公式，如果有通项公式也不一定唯一。给出数列的前若干项要确定其一个通项公式，解决这个问题的关键是找出已知的每一项与其序号之间的对应关系，然后抽象成一般形式。

1． 堆放的钢管 4,5,6,7,8,9,102． 正整数的倒数 3． 4． -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5． 无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…

递增数列、递减数列；常数列；摆动数列； 有穷数列、无穷数列。

5． 实质：

从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。

6． 用图象表示：

3． 已知通项公式可写出数列的任一项，因此通项公式十分重要例二 （P111 例二）略

四、补充例题：

写出下面数列的一个通项公式，使它的前 项分别是下列各数：1．1，0，1，0． 2． ， ， ， ， 3．7，77，777，7777 4．-1，7，-13，19，-25，31 5． ， ， ，

1．观察下面数列的特点，用适当的数填空，关写出每个数列的一个通项公式；（1） ， ， ，（ ）， ， …（2） ，（ ）， ， ， …

2．写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1、 、 、 ； （2） 、 、 、 ； （3） 、 、 、 ； （4） 、 、 、

3．求数列1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一个通项公式

4．已知数列an的前4项为0， ，0， ，则下列各式 ①an= ②an= ③an= 其中可作为数列{an}通项公式的是A ① B ①② C ②③ D ①②③

5．已知数列1， ， ， ，3， …， ，…，则 是这个数列的（ ）A． 第10项 B.第11项 C.第12项 D.第21项

6．在数列{an}中a1=2,a17=66,通项公式或序号n的一次函数，求通项公式。

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）判断数列{an}的单调性。

8．在数列{an}中，an=

（2）求数列{an}的最大项。

答案：

1.（1） ，an= （2） ，an=

2．（1）an= （2）an= （3）an= （4）an=

3．an= 或an= 这里借助了数列1，0，1，0，1，0…的通项公式an= 。

7．（1）an= (2)

数列的课件(篇9)

教学目标 

1.理解的概念，掌握的通项公式，并能运用公式解决简单的问题。

（1）正确理解的定义，了解公比的概念，明确一个数列是的限定条件，能根据定义判断一个数列是，了解等比中项的概念；

（2）正确认识使用的表示法，能灵活运用通项公式求的首项、公比、项数及指定的项；

（3）通过通项公式认识的性质，能解决某些实际问题。

2.通过对的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质。

3.通过对概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度。

教学建议

教材分析

（1）知识结构

是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用。

（2）重点、难点分析

教学重点是的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点 在于通项公式的推导和运用。

①与等差数列一样，也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出的特性，这些是教学的重点。

②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉；在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力；第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点。

③对等差数列、的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点。

教学建议

（1）建议本节课分两课时，一节课为的概念，一节课为通项公式的应用。

（2）概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到的定义。也可将几个等差数列和几个混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括的定义。

（3）根据定义让学生分析的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解。

（4）对比等差数列的表示法，由学生归纳的各种表示法。 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象。

（5）由于有了等差数列的研究经验，的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现。

（6）可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用。

教学设计示例

课题：的概念

教学目标 

1.通过教学使学生理解的概念，推导并掌握通项公式。

2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力。

3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度。

教学重点，难点

重点、难点是的定义的归纳及通项公式的推导。

教学用具

投影仪，多媒体软件，电脑。

教学方法

讨论、谈话法。

教学过程 

一、提出问题

给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准。（幻灯片）

①－2，1，4，7，10，13，16，19，…

②8，16，32，64，128，256，…

③1，1，1，1，1，1，1，…

④243，81，27，9，3，1， ， ，…

⑤31，29，27，25，23，21，19，…

⑥1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…

⑦1，－10，100，－1000，10000，－100000，…

⑧0，0，0，0，0，0，0，…

由学生发表意见（可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类），统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列（学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为）.

二、讲解新课

请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题。假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，…，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数 这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这是我们将要研究的另一类数列——. （这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步）

（板书）

1.的定义（板书）

根据与等差数列的名字的区别与联系，尝试给下定义。学生一般回答可能不够完美，多数情况下，有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的。教师写出的定义，标注出重点词语。

请学生指出②③④⑥⑦各自的公比，并思考有无数列既是等差数列又是。学生通过观察可以发现③是这样的数列，教师再追问，还有没有其他的例子，让学生再举两例。而后请学生概括这类数列的一般形式，学生可能说形如 的数列都满足既是等差又是，让学生讨论后得出结论：当 时，数列 既是等差又是，当 时，它只是等差数列，而不是。教师追问理由，引出对的认识：

2.对定义的认识（板书）

（1）的首项不为0；

（2）的每一项都不为0，即 ；

问题：一个数列各项均不为0是这个数列为的什么条件？

（3）公比不为0.

用数学式子表示的定义。

是 ①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成 ，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为 是 ？为什么不能？

式子 给出了数列第 项与第 项的数量关系，但能否确定一个？（不能）确定一个需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式。

3.的通项公式（板书）

问题：用 和 表示第 项 .

①不完全归纳法

.

②叠乘法

，… ， ，这 个式子相乘得 ，所以 .

（板书）（1）的通项公式

得出通项公式后，让学生思考如何认识通项公式。

（板书）（2）对公式的认识

由学生来说，最后归结：

①函数观点；

②方程思想（因在等差数列中已有认识，此处再复习巩固而已）.

这里强调方程思想解决问题。方程中有四个量，知三求一，这是公式最简单的应用，请学生举例（应能编出四类问题）.解题格式是什么？（不仅要会解题，还要注意规范表述的训练）

如果增加一个条件，就多知道了一个量，这是公式的更高层次的应用，下节课再研究。同学可以试着编几道题。

三、小结

1.本节课研究了的概念，得到了通项公式；

2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比；

3.用方程的思想认识通项公式，并加以应用。

四、作业 （略）

五、板书设计 

三。

1.的定义

2.对定义的认识

3.的通项公式

（1）公式

（2）对公式的认识

探究活动

将一张很大的薄纸对折，对折30次后（如果可能的话）有多厚？不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米。

参考答案：

30次后，厚度为，这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度。如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了。还记得国王的承诺吗？第31个格子中的米已经是1073741824粒了，后边的格子中的米就更多了，最后一个格子中的米应是 粒，用计算器算一下吧（用对数算也行）.

数列的课件(篇10)

数列的极限说课稿

【一、教材分析】

1、教材的地位和作用：

数列的极限是中学数学与高等数学一个衔接点，它同时也是中学数学教学的难点之一。在中学阶段渗透近代数学的基础知识，是课程教材改革的要求之一。教材把极限作为高中阶段的必修内容，意图是在中学阶段渗透极限思想，使学生初步接触用有限刻画无限，由已知认识未知，由近似描述精确的数学方法，使学生对变量、变化过程有更深的认识，这对于提高学生数学素质有积极意义。

2、教学目标及确立的依据：

教学目标：

（1）教学知识目标：通过趣闻故事和割圆术使学生对“无限趋近”有感性的认识；

从数列的变化趋势理解数列极限的概念；

会判断一些简单数列的极限。

（2）能力训练目标：观察运动和变化的过程，初步认识有限与无限、近似与精确、量变与质变的辨证关系，提高学生的数学概括能力和抽象思维能力。

（3）德育渗透目标：通过教学提高学生学习数学的兴趣和数学审美能力，培养学生的主动探索精神和创新意识。

教学目标确立的依据：《全日制中学数学教学大纲》中明确规定，要从数列的变化趋势理解数列的极限，针对这样的情况，我依照《大纲》的要求制定了符合实际的教学目标，并在教学过程中把重点放在对数列极限的概念意义的准确把握和理解上。为了更好的达到教学目标，我设计一些形象、直观、准确的计算机演示程序，分散教学难点。

3、教学重点及难点确立的依据：

教学重点：数列极限的意义

教学难点：数列极限的概念理解

教学重点与难点确立的依据：数列极限的定义抽象性比较强，它有诸多的定义方式，我们教材是采用描述性方法定义数列的极限。数列极限的定义过程，重点是剖析“数列无限趋近于常数”的含义。所以要求学生的理性认识能力较高，所以本节课的重点难点就必然落在对数列极限概念的理解上。

【二、教材的处理】

由于极限的概念中关系到“无限”，而高中学生以往的数学学习中主要接触的是“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题。因此，对极限概念如何从变化趋势的角度来正确理解成为本章的难点。为了解决这一难点，主要结合具体例子，首先要让学生对它形成正确的初步认识，为了理解极限概念积累一定的感性认识，还要注意从“特殊”到“一般”的归纳。在将具体例子时，注意从中提炼，概括涉及极限的本质特征，为归纳出一般概念作好准备；在讲一般概念时，注意结合具体例子予以解释说明，克服抽象理解的困难，使学生对数列极限的概念有很准确的认识。教材中只是介绍了数列极限的定义，着重让学生从变化趋势上去理解，工夫化在概念的理解上，而不过分膨胀内容、增加习题难度和过多的训练。

【三、教学方法和教学工具】

教学方法：通过观察发现特征，教师归纳概念，师生共同探讨。

确立教学方法的依据：数列极限是一个抽象的概念，关键是让学生理解从“有限”到“无限”如何从变化趋势来理解极限的概念，通过师生共同观察讨论来帮助学生深刻理解，为以后的应用打下坚实的基础。

教学工具：多媒体教学设备

【四、教学流程】

主要过程课程设计及决策意图

一、引入

（1）趣闻故事以趣闻故事引入，激发学生学习的兴趣，并使学生对“无限接近”有感性的认识。

（2）割圆术通过割圆术使学生对“无限接近”有进一步的认识，并及时进行德育渗透，增强民族自豪感。

二、数列极限的描述性定义

（1）给出几个数列，让学生由学生归纳当无限增大时数列的项的值的相关特征，教师顺其给出数列极限的描述性列表计算，并借助计算机定义，并通过描述性定义进行辨析，为后面理演示作图，观察归纳数列解“无限趋近”的数量表示做准备极限的描述性定义

（2）概念的辨析

三、“无限趋近”的数量表示

给出一个具体的数列，通过这个数列重点剖析“数列{ }无限趋近于并把这个数列的各项在数轴上常数c”的含义，让学生对“数列无限趋近于常表示，观察数列各项的点与1数c”有进一步的认识。

的距离是越来越趋近于1。

然后通过“越来越趋近于1”

在数量上的反映为当无限增大时，预先给定任意小的正数总可以找到这样的，使得与1的差的绝对值都小于，即

三、练习巩固数列极限概念

四、小结 总结数列极限概念的本质

【五．几点说明】

数学教学注重的是学生在原有的数学知识基础上，在教师的组织和指导下，充分自主的进行讨论、交流，通过表达、接受和转换，获取新的数学知识与方法，重组个人的知识结构，形成良好的数学素养，提高个人获取信息的能力，培养合作学习的精神。所以在这节课的设计上，我主要是通过趣闻吸引学生的兴趣，从而对极限有感性的认识，然后通过具体数列由观察到分析，由定性到定量，由直观到抽象，按照思维的发展规律，有浅入深设计了6个不同的层次：

1、通过趣闻和割圆术，使学生对数列极限有感性的认识，并及时渗透爱国注意教育，增强学生的民族自豪感和对数学学习的兴趣，并激励学生的好奇心和求知欲，在认知方面明确本节课的内容。

2、给出几个具体的无穷数列，让学生通过列表计算，并借助计算机作图观察，并讨论交流归纳出有极限数列当项数无限增大时的直观特点；

3、教师引导学生概括出数列极限的描述性定义；

4、通过对几个精心设计的几个问题的讨论，纠正学生在对数列的描述性定义理解上可能出现的错误，这样可以使学生对数列极限定义的进一步探讨的必要性有了初步的认识，也能够激发起学生的参与热情；

5、通过具体的例子深入分析数列极限的内涵，理解“无限趋近”的数量表示；

6、巩固练习，加深对数列极限概念的正确认识。

小结

重在对数列极限概念的本质进行总结和点拨，以便引起学生对极限的更深刻的思考，同时与教学目标相呼应。

数列的课件(篇11)

高中数列教案

数列是高中数学课程中的一个重要概念，它在数学领域中有着广泛的应用。数列的概念并不难理解，但要熟练掌握数列的性质和运算规律，则需要花费一定的时间和精力。在高中数学教学中，数列的教学一直是一个难点和重点。为了能够更好地帮助学生掌握数列的相关知识，老师需要设计生动有趣的课堂教学内容，制定有效的数列教案。

一、教学目标

在设计数列教案之前，首先要确定教学目标。数列教学的目标主要包括：

1. 理解数列的概念和性质；

2. 掌握数列的常用运算规律；

3. 能够应用数列解决实际问题；

4. 培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

二、教学内容

数列的内容涉及很广泛，包括等差数列、等比数列、通项公式、数列的和等方面。在设计数列教案时，应该将这些内容有机结合，从浅入深地进行教学。

1. 等差数列

等差数列是指数列中相邻两项之差恒为常数的数列。在教学中，可以通过生动有趣的例子引入等差数列的概念，然后介绍等差数列的通项公式和求和公式，并通过例题讲解加深学生对等差数列的理解。

2. 等比数列

等比数列是指数列中相邻两项之比恒为常数的数列。在教学中，同样可以通过生动有趣的例子引入等比数列的概念，介绍等比数列的通项公式和求和公式，并通过例题讲解加深学生对等比数列的理解。

3. 数列的和

数列的和是数列中所有项的和。在教学中，可以通过生活中的实际问题引入数列的和的概念，介绍数列的和的计算方法和性质，并通过例题讲解加深学生对数列的和的理解。

三、教学方法

在设计数列教案时，要采用多种教学方法，例如讲授法、练习法、归纳法、启发法等，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习效率。

1. 讲授法

通过讲解概念、性质和运算规律，使学生理解数列的相关知识点。

2. 练习法

通过大量的练习，巩固学生对数列的掌握程度，并培养学生的解题能力。

3. 归纳法

通过归纳总结，帮助学生理清数列的性质和运算规律，提高学生对数列的整体认识。

4. 启发法

通过启发学生思考和解题，培养学生的逻辑思维和数学推理能力。

四、教学手段

为了提高教学效果，教师可以运用多种教学手段，如教学演示、多媒体辅助、学生互动等，使数列教学更加生动有趣。

1. 教学演示

通过教学演示，可以形象直观地展示数列的概念和性质，帮助学生更好地理解和掌握数列的相关知识。

2. 多媒体辅助

通过多媒体辅助教学，可以运用图片、视频等多媒体资料，吸引学生的注意力，提高学生的学习兴趣。

3. 学生互动

通过学生互动，可以促进学生之间的交流和合作，激发学生的学习积极性，提高教学效果。

五、教学评估

在教学过程中，要及时对学生的学习情况进行评估，了解学生的学习情况，及时调整教学方法和教学内容，使教学更加有针对性。

1. 小测验

可以通过小测验来检测学生对数列的掌握程度，及时发现学生的问题并进行针对性辅导。

2. 课堂讨论

可以通过课堂讨论来检测学生的学习情况，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习主动性。

3. 作业检查

通过作业检查，及时发现学生的问题并进行针对性的辅导，帮助学生提高数列的学习效果。

通过以上的教学目标、教学内容、教学方法、教学手段和教学评估，设计出生动具体的高中数列教案，将有助于提高教学质量，帮助学生更好地掌握数列的相关知识，提高学生的数学学习兴趣和学习效果。

数列的课件(篇12)

 §3.1.1、的通项公式 目的：要求学生理解的概念及其几何表示，理解什么叫的通项公式，给出一些能够写出其通项公式，已知通项公式能够求的项。重点：1的概念。按一定次序排列的一列数叫做。中的每一个数叫做的项，的第n项an叫做的通项（或一般项）。由定义知：中的数是有序的，中的数可以重复出现，这与数集中的数的无序性、互异性是不同的。2．的通项公式，如果{an}的通项an可以用一个关于n的公式来表示，这个公式就叫做的通项公式。从映射、函数的观点看，可以看成是定义域为正整数集N*（或宽的有限子集）的函数。当自变量顺次从小到大依次取值时对自学成才的一列函数值，而的通项公式则是相应的解析式。由于的项是函数值，序号是自变量，所以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标画出的图像是一些孤立的点。难点：根据前几项的特点，以现规律后写出的通项公式。给出的前若干项求的通项公式，一般比较困难，且有的不一定有通项公式，如果有通项公式也不一定唯一。给出的前若干项要确定其一个通项公式，解决这个问题的关键是找出已知的每一项与其序号之间的对应关系，然后抽象成一般形式。过程：一、从实例引入（P110）1．  堆放的钢管    4,5,6,7,8,9,102．  正整数的倒数    3．  4．  -1的正整数次幂：-1,1,-1,1,…5．  无穷多个数排成一列数：1,1,1,1,…二、提出课题：1．  的定义：按一定次序排列的一列数（的有序性）2．  名称：项，序号，一般公式 ，表示法 3．  通项公式： 与 之间的函数关系式如 1：      2：      4： 4．  分类：递增、递减；常；摆动；                  有穷、无穷。5．  实质：从映射、函数的观点看，可以看作是一个定义域为正整数集               N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，通项公式即相应的函数解析式。6．  用图象表示：— 是一群孤立的点          例一 （P111 例一   略）三、关于的通项公式1．  不是每一个都能写出其通项公式 （如3）2．  的通项公式不唯一   如： 4可写成      和                                 3．  已知通项公式可写出的任一项，因此通项公式十分重要例二  （P111  例二）略           四、补充例题：写出下面的一个通项公式，使它的前 项分别是下列各数：1．1，0，1，0．                                    2． ， ， ， ，                       3．7，77，777，7777                        4．-1，7，-13，19，-25，31                         5． ， ， ，          五、小结：1．的有关概念2．观察法求的通项公式六、作业 ：  练习P112  习题 3．1（P114）1、2七、练习：1．观察下面的特点，用适当的数填空，关写出每个的一个通项公式；（1） ， ， ，（   ）， ， …（2） ，（  ）， ， ， …  2．写出下面的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1、 、 、 ；        （2） 、 、 、 ；                         （3） 、 、 、 ；  （4） 、 、 、 。3．求1，2，2，4，3，8，4，16，5，…的一个通项公式4．已知an的前4项为0， ，0， ，则下列各式 ①an=    ②an=  ③an=  其中可作为{an}通项公式的是 A ①         B ①②         C ②③        D ①②③ 5．已知1， ， ， ，3， …， ，…，则 是这个的（    ） A． 第10项    B.第11项    C.第12项    D.第21项      6．在{an}中a1=2,a17=66,通项公式或序号n的一次函数，求通项公式。7．设函数 （ ），{an}满足 （1）求{an}的通项公式；（2）判断{an}的单调性。8．在{an}中，an=（1）求证：{an}先递增后递减；（2）求{an}的最大项。 答案：1. （1） ，an= （2） ，an=       2．（1）an=                  （2）an=         （3）an=        （4）an=       3．an=    或an=这里借助了1，0，1，0，1，0…的通项公式an=。4．D  5.B   6. an=4n-27．（1）an=    (2)

数列的课件(篇13)

§３ 数列极限存在的条件

教学内容：单调有界定理，柯西收敛准则。

教学目的：使学生掌握判断数列极限存在的常用工具。掌握并会证明单调有界定理，并会运用它求某些收敛

数列的极限；初步理解Cauchy准则在极限理论中的主要意义，并逐步会应用Cauchy准则判断某些数列的敛散性。

教学重点：单调有界定理、Cauchy收敛准则及其应用。

教学难点：相关定理的应用。

教学方法：讲练结合。

教学学时：2学时。

 引言

在研究比较复杂的极限问题时，通常分两步来解决：先判断该数列是否有极限（极限的存在性问题）；若有极限，再考虑如何计算些极限（极限值的计算问题）。这是极限理论的两基本问题。

本节将重点讨论极限的存在性问题。为了确定某个数列是否有极限，当然不可能将每一个实数依定义一一加以验证，根本的办法是直接从数列本身的特征来作出判断。本节就来介绍两个判断数列收敛的方法。

一、单调数列：

定义 若数列an的各项满足不等式anan1(aan1)，则称an为递增（递减）数列。递增和递减数列统称为单调数列． (1)n12例如：为递减数列；n为递增数列；不是单调数列。nn

二、单调有界定理：

考虑：单调数列一定收敛吗？有界数列一定收敛吗？以上两个问题答案都是否定的，如果数列对以上两个条件都满足呢？答案就成为肯定的了，即有如下定理：

定理2.9（单调有界定理）在实数系中，有界且单调数列必有极限。

证明：不妨设an单调递增有上界，由确界原理an有上确界asupan，下面证明limana.0，n

一方面，由上确界定义aNan，使得aaN，又由an的递增性得，当nN时aaNan； 另一方面，由于a是an的一个上界，故对一切an，都有anaa；

所以当nN时有aana，即ana，这就证得limana。n

同理可证单调递减有下界的数列必有极限，且为它的下确界。

例１ 设an1111,n1,2,其中2，证明数列an收敛。23n

证明：显然数列an是单调递增的，以下证明它有上界.事实上，an1111 22223n

11111111111 1223(n1)n223n1n

212，n1,2, n

于是由单调有界定理便知数列an收敛。

例２ 证明下列数列收敛，并求其极限：

 n个根号

解：记an

显然a1222，易见数列an是单调递增的，现用数学归纳法证明an有上界2.22，假设an2，则有an12an222，从而数列an有上界2.n2于是由单调有界定理便知数列an收敛。以下再求其极限，设limana，对等式an12an两边

2同时取极限得a2a，解之得a2或a1（舍去，由数列极限保不等式性知此数列极限非负），从而 lim2222.n

例３证明lim(1)存在。n1nn

分析：此数列各项变化趋势如下

我们有理由猜测这个数列单调递增且有上界，下面证明这个猜测是正确的。

证明：先建立一个不等式，设ba0，nN，则由

bn1an1(ba)(bnbn1abn2a2ban1an)(n1)bn(ba)得到不等式 an1bn(n1)anb（＊）

以b111111a代入（＊）式，由于(n1)anb(n1)(1)n(1)1 nn1n1n

n1nn111由此可知数列1为递增数列； nn1于是1n1

再以b11111a代入（＊）式，同样由于(n1)anb(n1)n(1)，2n2n

2n2nn14由此可知数列1为有界数列； n111于是1112n22n

n综上由单调有界定理便知lim(1)存在。nn

n1注：数列1是收敛的，但它的极限目前没有办法求出，实际上它的极限是e（无理数），即有n

1lim(1)n＝e，这是非常有用的结论，我们必须熟记，以后可以直接应用。nn

例4 求以下数列极限：

（1）lim(1)；（2）lim(1nn1nn1n1)；（3）lim(1)2n.n2nn

n1n1 解:(1)lim(1)lim1nnnn11； e

(2)lim(1n1n1)lim1n2n2n2ne 12

(3)lim(1n12n)n1nlim1e2.nn2

三、柯西收敛准则：

１．引言：

单调有界定理只是数列收敛的充分条件，下面给出在实数集中数列收敛的充分必要条件——柯西收敛准则。

２．Cauchy收敛准则：

定理2.10（Cauchy收敛准则）数列an收敛的充分必要条件是：对任给的0，存在正整数Ｎ，使得当n,mN时有|anam|；或对任给的0，存在正整数Ｎ，使得当nN，及任一pN，有anpan。

３．说明：

(1)Cauchy收敛准则从理论上完全解决了数列极限的存在性问题。

(2)Cauchy收敛准则的条件称为Cauchy条件，它反映这样的事实：收敛数列各项的值愈到后面，彼此愈接近，以至于充分后面的任何两项之差的绝对值可以小于预先给定的任意小正数。或者，形象地说，收敛数列的各项越到后面越是“挤”在一起。

(3)Cauchy准则把N定义中an与a的之差换成an与am之差。其好处在于无需借助数列以外的数a，只要根据数列本身的特征就可以鉴别其（收）敛（发）散性。

(4)数列an发散的充分必要条件是：存在00，对任意的NN，都可以找到n,mN，使得anam0；存在00，对任意的NN，都可以找到nN，及pN，使得anpan0.例5设an1112n，证明数列an收敛。101010

证明：不妨设nm，则

anam111m1m2n101010

1110m11nm11011111 mnm19101010mm110对任给的0，存在N

例6设an1

证明：0，对一切nmN有|anam|，由柯西收敛准则知数列an收敛。11，证明数列an发散。2n

anp1，对任意的NN，任取nN，及pn，则有 211111111an(共n项)n0 n1n22n2n2n2n2n2由柯西收敛准则知数列an发散。

数列的课件(篇14)

数列的极限 教学设计

西南位育中学 肖添忆

一、教材分析

《数列的极限》为沪教版第七章第七节第一课时内容，是一节概念课。极限概念是数学中最重要和最基本的概念之一，因为极限理论是微积分学中的基础理论，它的产生建立了有限与无限、常量数学与变量数学之间的桥梁，从而弥补和完善了微积分在理论上的欠缺。本节后续内容如：数列极限的运算法则、无穷等比数列各项和的求解也要用到数列极限的运算与性质来推导，所以极限概念的掌握至关重要。

课本在内容展开时，以观察n时无穷等比数列an列anqn,(|q|1)与an1的发展趋势为出发点，结合数n21的发展趋势，从特殊到一般地给出数列极限的描述性定义。在n由定义给出两个常用极限。但引入部分的表述如“无限趋近于0，但它永远不会成为0”、“不管n取值有多大，点（n，an）始终在横轴的上方”可能会造成学生对“无限趋近”的理解偏差。

二、学情分析

通过第七章前半部分的学习，学生已经掌握了数列的有关概念，以及研究一些特殊数列的方法。但对于学生来说，数列极限是一个全新的内容，学生的思维正处于由经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡的阶段。

由于已有的学习经验与不当的推理类比，学生在理解“极限”、“无限趋近”时可能产生偏差，比如认为极限代表着一种无法逾越的程度，或是近似值。这与数学中“极限”的含义相差甚远。在学习数列极限之前，又曾多次利用“无限趋近”描述反比例函数、指数函数、对数函数的图像特征，这又与数列中“无限趋近”的含义有所差异，学生往往会因为常数列能达到某一个常数而否定常数列存在极限的事实。

三、教学目标与重难点 教学目标：

1、通过数列极限发展史的介绍，感受数学知识的形成与发展，更好地把握极限概念的来龙去脉；

2、经历极限定义在漫长时期内发展的过程，体会数学家们从概念发现到完善所作出的努力，从数列的变化趋势，正确理解数列极限的概念和描述性定义；

3、会根据数列极限的意义，由数列的通项公式来考察数列的极限；掌握三个常用极限。教学重点：理解数列极限的概念

教学难点：正确理解数列极限的描述性定义

四、教学策略分析

在问题引入时着重突出“万世不竭”与“讲台可以走到”在认知上的矛盾，激发学生的学习兴趣与求知欲，并由此引出本节课的学习内容。在极限概念形成时，结合极限概念的发展史展开教学，让学生意识到数学理论不是一成不变的，而是不断发展变化的。数学的历史发展过程与学生的认知过程有着一定的相似性，学生在某些概念上的进展有时与数学史上的概念进展平行。比如部分学生的想法与许多古希腊的数学家一样，认为无限扩大的正多边形不会与圆周重合，它的周长始终小于其外接圆的周长。教师通过梳理极限发展史上的代表性观点，介绍概念的发展历程以及前人对此的一系列观点，能帮助学生发现自己可能也存在着类似于前人的一些错误想法。对数学发现的过程以认知角度加以分析，有助于学生学习数学家的思维方式，了解数学概念的发展，进而建构推理过程，使学生发生概念转变。在课堂练习诊断部分，不但要求回答问题，还需对选择原因进行辨析，进而强化概念的正确理解。

五、教学过程提纲与设计意图 1.问题引入

让一名学生从距离讲台一米处朝讲台走动，每次都移动距讲台距离的一半，在黑板上写出表示学生到讲台距离的数列。这名学生是否能走到讲台呢？类比“一尺之捶,日取其半,万世不竭”，庄子认为这样的过程是永远不会完结的，然而“讲台永远走不到”这一结果显然与事实不同，要回答这一矛盾，让我们看看历史上的数学家们是如何思考的。【设计意图】

改编自芝诺悖论的引入问题，与庄子的“一尺之捶”产生了认知冲突，激发学生的学习兴趣与求知欲，并引出本节课的学习内容

2.极限概念的发展与完善

极限概念的发展经历了三个阶段：从早期以“割圆术”“穷竭法”为代表的朴素极限思想，到极限概念被提出后因“无穷小量是否为0”的争论而引发的质疑，再经由柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作以及实数理论的形成，严格的极限理论至此才真正建立。【设计意图】

教师引导学生梳理极限发展史上的代表性观点，了解数学家们提出观点的时代背景，对照反思自己的想法，发现自己可能也存在着类似于前人的一些错误想法。教师在比较概念发展史上被否定的观点与现今数学界认可的观点时，会使学生产生认知冲突。从而可能使学生发生概念转变，抛弃不正确的、不完整的、受限的想法，接受新的概念。在数学教学中，结合数学史展开教学可以让学生意识到数学理论不是一成不变的，而是不断发展变化的，从而提升学生概念转变的动机。

3.数列极限的概念

极限思想的产生最早可追溯于中国古代。极限理论的完善出于社会实践的需要，不是哪一名数学家苦思冥想得出，而是几代人奋斗的结果。极限的严格定义经历了相当漫长的时期才得以完善，它是人类智慧高度文明的体现，反映了数学发展的辩证规律。今天的主题，极限的定义，援引的便是柯西对于极限的阐述。

定义：在n无限增大的变化过程中，如果无穷数列{an}中的an无限趋近于一个常数A，那么A叫做数列{an}的极限，或叫做数列{an}收敛于A，记作limanA，读作“n趋向于

n无穷大时，an的极限等于A”。

在数列极限的定义中，可用|an-A|无限趋近于0来描述an无限趋近于A。

如前阐述，柯西版本的极限定义虽然不是最完美的，但作为摆脱几何直观的首次尝试，也是历史上一个较为成功的版本，在历史上的地位颇高。有时，我们也称其为数列极限的描述性定义。

【设计意图】

通过比较历史上不同观点下的极限定义，教师呈现数列极限的描述性定义，分析该定义的历史意义，让学生进一步明确数列极限的含义。4.课堂练习诊断

由数列极限的定义得到三个常用数列的极限:(1)limCC(C为常数)；

n(2)lim10(nN*)； nnnn(3)当|q|判断下列数列是否存在极限，若存在求出其极限，若不存在请说明理由

20162016（1）an；

nsinn； n（3）1,1,1,1,,1（2）an（4）an4(1n1000)

4(n1001)11-，n为奇数（5）ann

 1，n为偶数注：

（1）、（2）考察三个常用极限

（3）考查学生是否能清楚认识到数列极限概念是基于无穷项数列的背景下探讨的。当项数无限增大时，数列的项若无限趋近于一个常数，则认为数列的极限存在。因此，数列极限可以看作是数列的一种趋于稳定的发展趋势。有穷数列的项数是有限的，因而并不存在极限这个概念。

（4）引用柯西的观点，解释此处无限趋近的含义，是指随着数列项数的增加，数列的项与某一常数要多接近就有多接近，由此得出结论：数列极限与前有限项无关且无穷常数数列存在极限的。

（5）扩充对三种趋近方式的理解：小于A趋近、大于A趋近和摆动趋近。本题中的数列没有呈现出以上三种方式的任意一种。避免学生将趋近误解为项数与常数间的差距不断缩小。练习若A=0.9+0.09+0.009+0.0009+...，则以下对A的描述正确的是_____.A、A是小于1的最大正数

B、A的精确值为1 C、A的近似值为1

选择此选项的原因是_________ ①由于A的小数位都是 9，找不到比A大但比1小的数；

②A是由无限多个正数的和组成，它们可以一直不断得加下去，但总小于 2；

③A表示的数是数列0.9，0.99，0.999，0.9999，...的极限；

④1与A的差等于 0.00…01。

注：此题是为考查学生对于无穷小量和极限概念的理解。由极限概念的发展史可以看出，数学家们曾长时期陷入对无穷小概念理解的误区中，极大地阻碍了对极限概念的理解。学生学习极限概念时可能也会遇到类似的误区。

练习顺次连接△ABC各边中点A1、B1、C1，得到△A1B1C1。取△A1B1C1各边中点 A2、B2、C2并顺次连接又得到一个新三角形△A2B2C2。再按上述方法一直进行下去，那么最终得到的图形是_________.A、一个点

B、一个三角形

C、不确定

选择此选项的原因是_________.①

无限次操作后所得三角形的面积无限趋近于 0 但不可能等于 0。②

当操作一定次数后，三角形的三点会重合。

③

该项操作可以无限多次进行下去，因而总能作出类似的三角形。

④

无限次操作后所得三角形的三个顶点会趋向于一点。

注：此题从无限观的角度考察学生对极限概念的的理解。学生容易忽视极限概念中的实无限，他们在视觉上采用无穷叠加的形式，但是会受最后一项的惯性思维，导致采用潜无限的思辨方式。所谓实无限是指把无限的整体本身作为一个现成的单位，是可以自我完成的过程或无穷整体。相对地，潜无限是指把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着不断产生出来的东西。它永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在的。持有潜无限观点的学生在理解极限概念时，会将极限理解为是一个渐进过程，或是一个不可达到的极值。

通过习题，分析总结以下三个注意点：

（1）数列{an}有极限必须是一个无穷数列，但无穷数列不一定有极限存在；

1}可以说随着n的无限增大，n1数列的项与-1会越来越接近，但这种接近不是无限趋近，所以不能说lim1；

nn（2）“无限趋近”不能用“越来越接近”代替，例如数列{（3）数列{an}趋向极限A的过程可有多种呈现形式。

【设计意图】

通过例题与选项原因的分析，消除关于数列极限理解的三类误区：

第一类是将数列极限等同于如下的三种概念：渐近线、最大限度或是近似值。第二类是学生对于数列趋向于极限方式的错误认知。第三类是对于无限的错误认知。

5.课堂小结

极限的描述性定义与注意点 三个常用的极限

6.作业布置

1>任课老师布置的其他作业

2>学习魏尔斯特拉斯的数列极限定义，并用该定义证明习题的第一第二小问 【设计意图】

通过与数列极限相关的延伸问题，完善极限概念的体系，为学生创设课后自主探究平台，感受静态定义中凝结的数学家的智慧。

数列的课件(篇15)

数列(第一课时)的说课稿

一、教材结构与内容简析

本节内容在全书及章节的地位：《数列(第一课时)》是高中数学新教材第一册(上)第3章第一节。数列是在紧接着第二章函数之后的内容，数列是一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值。它在教材中起着承前启后的作用，一方面，可以加深学生对函数概念的认识，使他们了解不仅可以有自变量连续变化的函数，还可以有自变量离散变化的函数;另一方面，又可以从函数的观点出发变动地、直观地研究数列的一些问题，以便对数列性质的认识更深入一步。数列还有着非常广泛的实际应用;数列还是培养学生数学能力的良好题材。所以说数列是高中数学重要内容之一。

数学思想方法分析：作为一名数学老师,不仅要传授给学生数学知识,更重要的是传授给学生数学思想、数学意识，因此本节课在教学中力图向学生展示尝试观察、归纳、类比、联想等数学思想方法。

二、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征 ，我制定如下教学目标：

1、基础知识目标：形成并掌握数列的概念，理解数列的通项公式。并通过数列与函数的比较加深对数列的认识。

2、能力训练目标： 培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法。

3、情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。

三、教学重点、难点、关键

本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得本节课是本章内容的第一节课，是学生学习本章的基础，为了本章后面知识的学习，首先必须掌握数列的概念，其次数列的通项公式是研究后面等差数列、等比数列的灵魂，所以我认为数列的概念及其通项公式是教学的重点。由特殊到一般，由现象到本质，要学生从一个数列的前几项或相邻的几项来观察、归纳、类比、联想出数列的通项公式，学生必须通过自己的努力寻找出数列的通项an与项数n之间的关系来，对学生的能力要求比较高，所以我认为建立数列的通项公式是教学的难点。我觉得教学的关键就是教会学生克服难点，办法是让学生学会观察数列的前几项的特点，在观察和比较中揭示数列的变化规律。

下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈。

四、教法

数学是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现循序渐进与启发式的教学原则，我进行了这样的教法设计：在教师的引导下，创设情景，通过开放性问题的设置来启发学生思考，在思考中体会数学概念形成过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感受。

五、学法

我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中要特别重视学法的指导。随着《基础教育课程改革纲要(试行)》的颁布实施，课程改革形成由点到面，逐步铺开的良好态势。其中转变学生学习方式是本次课程改革的重点之一。课程改革的具体目标之一是“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。我以建构主义理论为指导，辅以多媒体手段，采用着重于学生探索研究的启发式教学方法，结合师生共同讨论、归纳。在课堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了 ①创设情境——引入概念②观察归纳——形成概念③讨论研究——深化概念④即时训练—巩固新知⑤总结反思——提高认识⑥任务后延——自主探究六个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。

六、教学程序及设想

接下来，我再具体谈一谈这堂课的教学过程：

(一) 创设情境——引入概念我经常在思考：长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了。事实上，数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。

1、由生活中的具体的数列实例引入：a、时间：时钟、挂历 b、植物：植物的茎

2、用古老的有关国际象棋的传说引入，符合高一学生喜欢探究新奇奥妙事物的特点。有利于激发学生的学习兴趣。

(二)观察归纳——形成概念

由实例得出几列数，再有目的地设计，如自然数、自然数的倒数、大于零的偶数、开关(0，1，0，1，0，1，„)、“一尺之棰，日取其半，永世不竭。”以及从1984年到2019年我国体育健儿参加六次奥运会获得的金牌数15，5，16，16，28，32所形成的数列，教师引导学生概括总结出本课新的知识点：数列的定义。

(三)讨论研究——深化概念

课前我精心设计的几个数列中已经含概了有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数数列，等待学生观察、讨论、交流后掌握以上几个概念。数列的相关概念：数列中的每一个数都叫这个数列的项，并且依次叫做这个数列的第一项(首项)，第二项，…第n项，…。数列的一般形式可写成：a1，a2，a3，…，an„，简记为{an｝，其中an表示数列的第n项。 接着引导学生再观察以上几个数列的项与项数之间的关系，如果数列{an｝的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。 最后通过数列通项公式与函数解析式的对比研究，使学生得出数列通项公式an=f(n)的图象是一群孤立的点。 在数列中，项数n与项an之间存在着对应关系。如果把项数n看作自变量，那么数列可以看作以自然数集(或它的有限子集{1，2，3，„，n｝)为定义域的函数当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值。而数列的通项公式也就是相应函数的解析式。当我们把直角坐标系的横坐标看作项数n，纵坐标看作项an时，我们得到的图象就是一群孤立的点。

(四)即时训练—巩固新知

为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练题，并且把课本的例题熔入即时训练题中，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识。

(五)总结反思——提高认识

由学生总结本节课所学习的主要内容：⑴数列及其有关概念;⑵根据数列的通项公式求其任意一项;⑶根据数列的一些相邻项求数列的通项公式;⑷数列与函数的关系(数列是一种特殊的函数)。让学生通过知识性内容的小结，把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质;通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。

(六)任务后延——自主探究

学生经过以上五个环节的学习，已经初步掌握了探究数列规律的一般方法，有待进一步提高认知水平，因此我针对学生素质的差异设计了有层次的训练题，留给学生课后自主探究，这样既使学生掌握基础知识，又使学有佘力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的。

七、简述板书设计。

结束：以上，我仅从说教材，说学情，说教法，说学法，说教学程序上说明了“教什么”和“怎么教”，阐明了“为什么这样教”。希望各位专家领导对本堂说课提出宝贵意见。

高等数学课件系列七篇

每个老师都需要在课前准备好自己的教案课件，本学期又到了写教案课件的时候了。 教师应该在教案课件中充分展示，让学生理解和掌握知识。我在教育网上找到一篇关于“高等数学课件”的文章内容很详尽，希望这些知识能够对你有所帮助！

高等数学课件 篇1

高等数学课程是大学数学课程的一种，通常包括微积分、线性代数等内容。它为学生提供了更深入的数学知识，为他们在数学领域的研究和专业发展打下了坚实的基础。以下是关于高等数学的主题范文。

一、微积分是高等数学的重要组成部分，其应用范围非常广泛。通过学习微积分，学生可以更深入地理解数学对于自然科学和工程科学的重要性，以及数学在经济学和金融学等领域的应用。此外，微积分也是理解人类历史上最伟大的数学要素之一，如牛顿与莱布尼茨的发现和应用。随着时代的变化和数学的发展，现代微积分也经历了很多新的变化和应用，如微分方程和复变函数。

二、线性代数是另一个重要的高等数学领域，它将数学的概念与实际的科学和工程应用结合起来。学生学习线性代数的过程中，他们将会掌握矩阵的基本概念，矩阵方程，向量空间，线性变换，欧几里得空间等重要概念。线性代数也是现代计算机科学领域中应用广泛的领域，因为它对于处理大量复杂和抽象的数据有着重要的方法和工具。

三、高等数学的Calculus（微积分）和Linear Algebra（线性代数）是现代科学和工程的基础。这些数学思想和方法的理解和掌握将使得学生们在科学领域中更加成功。学生不仅要掌握计算技能，更重要的是理解概念和理论的物理和几何意义。在应用和计算方面，学生还需要熟练掌握数学软件和工具，如MATLAB, Maple等。

四、高等数学教育是大学教育中最重要的组成部分之一，它不仅为自然科学和工程学科的发展做出了重要贡献，而且也为其他领域的理论和应用提供了强有力的工具。高等数学不仅为理解和探究自然界和人类文化提供了基础，而且还为学生的个人发展和成就提供了坚实的数学知识基础。因此，高等数学教育的重要性在当今社会中变得越来越明显，我们应该重视数学教育，并为学生提供更好的数学教育资源和机会。

五、高等数学教育应强调学生们对数学知识的理解和应用能力的培养。要实现这一目的，教育者应该采用更多的探究式学习方法和应用例子来让学生发现数学概念的重要性。同时，教育者应该鼓励学生们利用数学知识，为社会做出更大的贡献。

总而言之，高等数学教育是大学教育的重要组成部分。学生通过学习微积分和线性代数等数学知识，将会掌握更深入的数学理解和应用，从而对自然科学和工程学科的发展做出更大的贡献。教育者应该注重学生对数学知识的理解和应用能力的培养，同时鼓励学生利用数学知识为社会创造更大的价值。

高等数学课件 篇2

高等数学课件是一种重要的教学资源，能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，提高数学能力。在现代教育中，教育技术的发展和应用，使得教师能够使用多种形式的教学资源，包括课件等。因此，高等数学课件的编写和使用已经成为了现代高等数学教学的重要课题。

高等数学课件的编写需要考虑到学生的学习需求和教学目标。在编写课件时，应当根据课程内容、学生的知识水平、教学目标等因素进行分析和设计，以达到最好的教学效果。由于高等数学的知识层次较为复杂，因此编写高等数学课件时需要充分考虑到学生的认知模式和学习习惯，力求让学生更好地理解和掌握数学知识。

高等数学课件应具备以下几个方面的要求：

一、准确性。高等数学知识的准确性是基本要求，因为任何一个错误的公式或概念，都会对学生成长和知识的累积产生负面影响。因此在编写和使用高等数学课件时，应严格控制内容的准确性，确保学生能够掌握正确的知识和技能。

二、清晰性。高等数学是一门较为抽象的学科，对于学生来说，掌握数学知识本身就需要花费较大的认知代价。因此，在编写和使用高等数学课件时，应力求将知识的概念和原理表达得尽可能清晰和易懂，避免出现模糊或难以理解的语言和表达方式。

三、实用性。高等数学课件的编写和使用应力求贴近实际问题和应用情境，帮助学生理解知识的实际应用场景和方法，培养学生的解决实际问题的能力。

四、适用性。高等数学课件的设计应当考虑到不同年级、不同层次、不同专业学生的不同需求，尽可能做到适用性的设计，以便保持高效和灵活性。

在高等数学课件的编写和使用中，应尽可能满足学生的学习需求和教学目标，强化课程知识的建设和教学策略的完善，以提高数学教育的质量和水平。同时，高等数学课件的编写和使用应在保持教学质量和效果的同时，适应教育技术的不断创新和进步，推动教学模式和教学流程的优化和升华。

高等数学课件 篇3

高等数学课件

高等数学课程对于大多数理工科学生来说，是必修课程中的一门重要课程。这门课程的学习内容极其丰富，包括了微积分、线性代数、常微分方程等方面的知识。为了帮助学生更好地学习高等数学课程，课件是一个非常有效的学习工具。

一、高等数学课程概述

高等数学课程是大多数理科学生必修的一门学科，主要包括微积分、线性代数、概率与统计、数学分析等内容，是研究各种现代科学问题所必需的一种重要工具。高等数学的学习对于提高学生的数学素养、加强数学思维能力、提高科学研究能力、提高综合素质都具有重要的作用。

二、高等数学课件设计

针对高等数学课程的课件设计，应该根据课程大纲进行设计，使其能够帮助学生更好地掌握重点难点知识，同时使学生能够通过课件进行自主学习。以下是高等数学课件设计的几个方面：

1.内容分析：对于高等数学课程的内容进行分析，并提取重点难点知识点，为学生学习提供有针对性的指导。

2.教学方法：针对不同的知识点，采用不同的教学方法，如实例分析、问题导向、知识链接等。

3.学习工具：为学生提供学习工具，如习题集、在线视频、强化训练等，使学生能够更好地进行练习、巩固知识点。

4.互动方式：采用互动方式，使学生与教师之间、学生与学生之间能够进行有效沟通，交流经验，灵活开展学习。

三、高等数学课件的优点

高等数学课件的优点主要表现在以下几个方面：

1. 图像直观：高等数学中的许多数学模型，通过课件能够通过图表等形式进行展现，使学生能够直观地理解相关内容，加深对概念的理解。

2. 动态演示：高等数学涉及到的许多计算过程和公式，通过课件进行动态演示，使学生能够更加深入理解相关内容。

3. 学习效率高：通过课件，学生能够自主选择学习时间和地点，以及自主选择学习内容，灵活性较大，学习效率能够得到极大提高。

4. 综合性强：高等数学课件能够将不同章节的内容连接在一起，形成一个完整的知识体系，使学生能够更好地进行全面学习。

高等数学课件的设计和应用对于学生的自主学习、知识掌握和综合能力的提升都具有重要意义。针对高等数学课程的特点和学生的需求，需要有相应的课件设计方案，能够满足学生的学习需要，提高学生的学习效率和课程质量。

高等数学课件 篇4

高等数学课程是大学数学教学中的重要组成部分，包含微积分、线性代数、概率论与数理统计等模块。学生们通过上这门课，能够系统地学习和掌握高等数学的基础理论、方法和技能，为未来的学术研究和职场实践打下坚实的数学基础。

一、微积分模块

微积分是高等数学的核心内容之一，由导数、微分、积分三部分组成。学生们需要掌握函数的导数、极值、凹凸性等概念，了解微分的意义、性质和应用，学会积分方法和应用。除此之外，微积分还与其他学科紧密相关，在物理、工程、计算机等领域都有广泛应用。

二、线性代数模块

线性代数是研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等数学对象的学科。它在数学和工程学科中有广泛应用，如图像处理、信号处理、电路设计、计算机图形学等。在线性代数的学习过程中，学生们需要理解向量空间的含义和性质，了解线性变换和矩阵的运算规律，掌握行列式计算和线性方程组的求解等基础知识和技能。

三、概率论与数理统计模块

概率论和数理统计是研究随机现象的规律和统计规律的学科。概率论研究事件的可能性和发生规律，数理统计研究数据的收集、整理和分析。这两个学科广泛应用于社会、经济、科学、工程等领域。学生们需要理解基本概率概念和概率公式，掌握概率分布和随机变量的性质，以及数理统计的基本方法和应用。

四、高等数学课程的教学方法和教材

高等数学课程教学方法和教材的选择对学生的学习效果和兴趣培养都有重要影响。一般来说，高等数学课程的教学应该以理论与实践相结合为原则，加强计算和分析能力的训练，增加实例和案例的引入，激发学生对数学学科的兴趣。教材要选择权威、系统、具有实用价值和启迪性的作品，如《高等数学》、《线性代数及其应用》、《概率论与数理统计》等。

总之，高等数学课程是大学数学教育中的重要内容，学生们需要全面学习微积分、线性代数、概率论与数理统计等内容，掌握数学基础理论和方法，为将来的学术研究和职场实践打下坚实的数学基础。

高等数学课件 篇5

高等数学教案

课程的性质与任务

高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。

第一章：函数与极限

教学目的与要求

18学时

1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

6.掌握极限的性质及四则运算法则。

7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

第一节：映射与函数

一、集合

1、集合概念

具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素

1)A{a1,a2,a3,} 2)A{xx的性质P}

元素与集合的关系：aA

aA

一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+

元素与集合的关系：

A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作AB。

如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作AB 若作AB且AB则称A是B的真子集。空集： A2、集合的运算

并集AB ：AB{x|xA或xB} 交集AB ：AB{x|xA且xB}

差集

AB：AB{x|xA且xB

全集I、E

补集AC：

集合的并、交、余运算满足下列法则： 交换律、ABBA

ABBA 结合律、(AB)CA(BC)

(AB)CA(BC)分配律

(AB)C(AC)(BC)

(AB)C(AC)(BC)

对偶律

(AB)AB

(AB)AB 笛卡儿积A×B{(x,y)|xA且yB}

3、区间和邻域

开区间

(a,b)闭区间

a,b 半开半闭区间

a,b有限、无限区间 cccccca,b

邻域：U(a)

U(a,){xaxa}

a 邻域的中心

邻域的半径



去心邻域

U(a,)

左、右邻域

二、映射 1.映射概念

定义

设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作

f：XY

其中y 称为元素x的像，并记作f(x)，即

yf(x)

注意：1）集合X；集合Y；对应法则f

2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一

3)单射、满射、双射

2、映射、复合映射

三、函数

1、函数的概念：

定义：设数集DR，则称映射f:DR为定义在D上的函数

记为

yf(x)xD

自变量、因变量、定义域、值域、函数值

用f、g、

函数相等：定义域、对应法则相等

自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２

2)ｙ＝x

3)符号函数

1y01x0x0x04)取整函数 yx

（阶梯曲线）

2x0x1x15)分段函数 y

2、函数的几种特性

1x1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。

2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值

f(x1)与f(x2)的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、f(x)与f(x)关系决定)

图形特点(关于原点、Y轴对称)

4)函数的周期性(定义域中成立：f(xl)f(x))

3、反函数与复合函数

反函数：函数f:Df(D)是单射，则有逆映射f反函数

函数与反函数的图像关yx于对称

复合函数：函数ug(y)定义域为D1，函数yf(x)在D上有定义、且f(D)D1。则ug(f(x))gf(x)为复合函数。(注意：构成条件)

4、函数的运算

和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)

5、初等函数：

1(y)x，称此映射f1为f函数的

1)幂函数：yxa

2)指数函数：yax

3)对数函数 yloga(x)

4)三角函数

()

ysin(x),ycos(x),ytan(x),ycotx

5)反三角函数

yarcsin(x)，yarccoxs)（yarctan(x)以上五种函数为基本初等函数

6)双曲函数

ee2xxyarccot(x)

shx

chxxxxxee2xx

thxshxchxeeee

注：双曲函数的单调性、奇偶性。

双曲函数公式

sh(xy)shxchychxshysh(xy)shxchychxshych(xy)chxchyshxshy ch(xy)chxchyshxshyyarshx反双曲函数：yarchxyarthx

作业： 同步练习册练习一

第二节：数列的极限

一、数列

数列就是由数组成的序列。

1）这个序列中的每个数都编了号。

2）序列中有无限多个成员。一般写成：a1缩写为un

例 1 数列是这样一个数列xn，其中

n1a2a3a4an

xn也可写为：

1121n，n1,2,3,4,5

131415

1n0 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为lim1、极限的N定义：

0NnNnxna则称数列xn的极限为a，记成

limxna

n也可等价表述：

1）0

2）0NNnNnN(xna)

xnO(a)

极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。

二、收敛数列的性质

定理1：如果数列xn收敛，那么它的极限是唯一 定理2 如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界

定理3：如果limxna且a>0(a0，当n>N时，xn0x(xn0)

定理

4、如果数列{xn}收敛于a那么它的任一子 数列也收敛,且收敛于a。

第三节：函数的极限

一、极限的定义

1、在x0点的极限

1）x0可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在x0有没有定义，以及函数值f(x0)的大小。只要满足：存在某个0使：(x0,x0)(x0,x0)D。2）如果自变量x趋于x0时，相应的函数值 f(x)有一个总趋势-----以某个实数A为极限，则记为 ：limf(x)A。

xx0形式定义为：

0x(0xx0)注：左、右极限。单侧极限、极限的关系

2、x的极限

设：yf(x)x(,)如果当时函数值 有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近

f(x)A

线yA-----则称函数在无限远点有极限。记为：limf(x)A

x

在无穷远点的左右极限：

f()lim关系为： xf(x)

f()limf(x)

xlimf(x)Alimf(x)Alimf(x)

xxx

二、函数极限的性质

1、极限的唯一性

2、函数极限的局部有界性

3、函数极限的局部保号性

4、函数极限与数列极限的关系

第四节：无穷小与无穷大

一、无穷小定义

定义：对一个数列xn，如果成立如下的命题： 0NnNxn注：

1、 则称它为无穷小量，即limxn0

x的意义；

2、xn可写成xn0；(0,xn)

3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的xn与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。

定理1 在自变量的同一变化过程xx0（或x)中，函数fx具有极限A的充分必要条件是f(x)A，其中是无穷小。

二、无穷大定义

一个数列xn，如果成立：

G0NnNxnG那么称它为无穷大量。记成：limxn。

x 特别地，如果G0NnNxnG，则称为正无穷大，记成limxn

x特别地，如果G0NnNxnG，则称为负无穷大，记成limxn x注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。

三、无穷小和无穷大的关系

定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则

1f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)0则

1f(x)为无穷大

即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当xn0时：有

lim0limx1xnx

limlimx1xnx0

注意是在自变量的同一个变化过程中

第五节：极限运算法则

1、无穷小的性质

设xn和yn是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（2）对于任意常数C，数列cxn也是无穷小量：

limxn0lim(cxn)0 xx（3）xnyn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。

limxn0xlimyn0lim(xnyn)0

xx（4）xn也是无穷小量：

xx0limxn0limxn0

xx0（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。

2、函数极限的四则运算

1、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx0

2、函数f在点x0有极限，则对任何常数a成立

lim(af(x))alimxx0xx0f(x)

3、若函数f和g在点x0有极限，则

lim(f(x)g(x))limf(x)limg(x)

xx0xx0xx03、若函数f和g在点x0有极限，并且limg(x)0，则

xx0limf(x)f(x)xx0

lim

xx0g(x)limg(x)xx0极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点x0有极限 例：求下述极限

lim

x3x3x92limx12x3x5x42limx3x2x12xx5322

4、limx3x4x27x5x33232limxsinxxlimx2xx53x2x1232复合函数的极限运算法则

定理6 设函数yf[g(x)}是由函数yf(u)与ug(x)复合而成，f[g(x)]在点x0的 某去心邻域内有定义，若limg(x)u0，xx00uu0limf(u)A，且存在00，当xu(x0,0)时，有

g(x)u0，则

xx0limf[g(x)]limf(u)Auu0第六节：极限存在准则

两个重要极限

定理1 夹逼定理 ：三数列xn、yn和zn，如果从某个号码起成立：1）xnynzn，并且已知xn和zn收敛，2）limxnalimzn，则有结论：

xxlimyna

x

定理2 单调有界数列一定收敛。

单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。

例：证明：limx0sinxx1

例：

limx0

例：证明：lim(1xtanxx

limx01cosxxlimx0arcsinxx

1x)有界。求 lim(1)x的极限

xx1x

第七节：无穷小的比较

定义：若,为无穷小

limlim0c0c01且

limlimlim

K高阶、低阶、同阶、k阶、等价～

1、若,为等价无穷小，则()

2、若～1、～1且

lim1111存在，则： limlim

例：

limx0tan2xsin5x limx0sinxx3xlimx0(1x)31cosx12

第八节：函数的连续性与间断点

一、函数在一点的连续性

函数f在点x0连续，当且仅当该点的函数值f(x0)、左极限f(x00)与右极限f(x00)三者相等：

f(x00)f(x0)f(x00)

或者：当且仅当函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值。

limf(x)f(x0)

其形式定义如下：

xx00x(xx0)f(x)f(x0)

函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。函数在区间［a,b］连续时装意端点。注：左右连续，在区间上连续(注意端点)

连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线

二、间断点

若：f(x00)f(x0)f(x00)中有某一个等式不成立，就间断，分为：

1、第一类间断点：

f(x00)f(x00)

即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。、第二类间断点x0：左极限f(x00)与右极限f(x00)两者之中至少有一个不存在

例：见教材

第九节：连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算

1.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limf(x)g(x)f(x0)g(x0)

xx02limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)，xx0xx0limxx0f(x)g(x)xx0f(x0)g(x0)

3.limf(x)f(x0)且limg(x)g(x0)0，xx0limxxf(x)0g(x)f(x0)g(x0)

xDf是严格单调增加（减少）并且连续

反函数连续定理：如果函数f:yf(x)的，则存在它的反函数f并且连续的。

注： 1）反函数的定义域就是原来的值域。

1：xf1(y)yDf并且f1也是严格单调增加（减少）2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成

yf1(x)xDf1

复合函数的连续性定理：

设函数f和g满足复合条件gDf，若函数g在点x0连续；g(x0)u0，又若f函数在点u0连续，则复合函数fg在点x0连续。

注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：

xx0limf(g(x))f(limg(x))

xx0从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。

第十节：闭区间上连续函数的性质

一、最大、最小值

设函数：yf(x),xD在上有界，现在问在值域

D1yyf(x),xD

中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x0D的函数值 y0f(x0)，则记y0maxf(x)叫做函数在D上的最大值。

xD

类似地，如果 Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点x2Df的函数值y2f(x2)，则记y2min

二、有界性

xDff(x)称为函数在上的最小值。

有界性定理：如果函数f在闭区间a,b上连续，则它在a,b上有界。

三、零点、介值定理

最大值和最小值定理：如果函数 f在闭区间a,b上连续则它在a,b上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得

f()f(x)f(),亦即

xa,b

f()min xa,bf(x)

f()maxf(x)

xa,b 若x0使f(x0)0，则称x0为函数的零点

零点定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，且f在区间a,b的两个端点异号：f(a)*f(b)0则至少有一个零点(a,b)，使f()0

中值定理：

如果函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。

作业：见课后各章节练习。

高等数学课件 篇6

§8 4 多元复合函数的求导法则

设zf(u v) 而u(t) v(t) 如何求dz？

dt

设zf(u v) 而u(x y) v(x y) 如何求z和z？

xy

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u(t)及v(t)都在点t可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(t) (t)]在点t可导 且有

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明1 因为zf(u v)具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有

dzzduzdv

uv又因为u(t)及v(t)都可导 因而可微 即有

dududt dvdvdt

dtdt代入上式得

dzzdudtzdvdt(zduzdv)dt

udtvdtudtvdt从而

dzzduzdv

dtudtvdt

简要证明2 当t取得增量t时 u、v及z相应地也取得增量u、v及z  由zf(u v)、u(t)及v(t)的可微性 有

zzuzvo()z[duto(t)]z[dvto(t)]o()

uvudtvdt

(zduzdv)t(zz)o(t)o()

udtvdtuvzzduzdv(zz)o(t)o()



tudtvdtuvtt令t0 上式两边取极限 即得

dzzduzdv

dtudtvdto()o()(u)2(v)2注limlim0(du)2(dv)20

tdtdtt0tt0推广 设zf(u v w) u(t) v(t) w(t) 则zf[(t) (t) (t)]对t 的导数为

dzzduzdvzdw

dtudtvdtwdt上述dz称为全导数

dt

2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u(x y) v(x y)都在点(x y)具有对x及y的偏导数 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf [(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzv zzuzv

xuxvxyuyvy

推广 设zf(u v w) u(x y) v(x y) w(x y) 则

zzuzvzw

zzuzvzw 

xuxvxwxyuyvywy

讨论

(1)设zf(u v) u(x y) v(y) 则z？z？

yx

提示 zzu zzuzdv

xuxyuyvdyz

(2)设zf(u x y) 且u(x y) 则z？？

yxffff

提示 zu zu

xuxxyuyyf这里z与是不同的 z是把复合函数zf[(x y) x y]中的y看作不变而对x的xxxffz偏导数 是把f(u x y)中的u及y看作不变而 对x的偏导数 与也朋类似

yyx的区别

3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形

定理3 如果函数u(x y)在点(x y)具有对x及对y的偏导数 函数v(y)在点y可导 函数zf(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数zf[(x y) (y)]在点(x y)的两个偏导数存在 且有

zzuzdv

zzu 

xuxyuyvdy

z

例1 设zeusin v uxy vxy 求z和

xy

解 zzuzv

xuxvx

eusin vyeucos v1

ex y[y sin(xy)cos(xy)]

zzuzv

yuyvy

eusin vxeucos v1

exy[x sin(xy)cos(xy)]

例2 设uf(x,y,z)exff

解 uz

xxzx2y2z2 而zx2siny 求u和u

yx

2xex2y2z22zex2y2z22xsiny

 2x(12x2siny)ex2y2x4si2nyff

uz

yyzy

2yex2y2z22zex2y2z2x2cosy

2(yx4sinycoys)ex2y2x4si2ny

例3 设zuvsin t  而uet vcos t 求全导数dz

dt

解 dzzduzdvz

dtudtvdtt

vetu(sin t)cos t

etcos te tsin tcos t

et(cos tsin t)cos t 

2ww

例4 设wf(xyz xyz) f具有二阶连续偏导数 求及 xzx

解 令uxyz vxyz  则wf(u v)

f(u,v)f(u,v)f22等

引入记号 f1 f12 同理有f2f11uuvwfufvfyzf

2

xuxvx12ff

w(f1yzf2)1yf2yz2

xzzzzxyf12yf2yzf21xy2zf22

f11y(xz)f12yf2xy2zf22

f11f1f1uf1vfffxyf12 22u2vf21xyf22 f11zuzvzzuzvz

例5 设uf(x y)的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式

注

22u

(1)(u)2(u)2

(2)uxyx2y2解 由直角坐标与极坐标间的关系式得

uf(x y)f(cosθ sinθ)F( θ)

其中xcosθ ysinθ x2y2 arctan应用复合函数求导法则 得

uuxuyuuysincos

uu

xxx2uuyuxuucossin

uu

yyy2y x两式平方后相加 得

(u)2(u)2(u)212(u)2

xy再求二阶偏导数 得

2(u)(u) 

ux2xxxxu)co)sin susins(ucosusin

(co22222uusincosusinu2sincosusin 222

2cos22同理可得 222222uuusincosucosu2sincosucos 22sin2222y两式相加 得

22222uuu11u1u

222222[()u]

2xy

全微分形式不变性

设zf(u v)具有连续偏导数 则有全微分

dzzduzdv

uv如果zf(u v)具有连续偏导数 而u(x y) v(x y)也具有连续偏导数 则

zz

dzdxdy

xyzuzv)dx(zuzv)dy

（uxvxuyvyzuuzvv

(dxdy)(dxdy)

uxyvxy

zduzdv

uv由此可见 无论z 是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性

例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分

解 dzzduzdv e usin vdu e ucos v dv uv

 e usin v(y dxx dy) e ucos v(dxdy)

(ye usin v e ucos v)dx(xe usin v e ucos v)dy

e xy [y sin(xy)cos(xy)]dx e xy [x sin(xy)cos(xy)]dy 

§8 5

隐函数的求导法则 一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F(x y)在点P(x0 y0)的某一邻域内具有连续偏导数 F(x0 y0)0 Fy(x0 y0)0 则方程F(x y)0在点(x0 y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yf(x) 它满足条件y0f(x0) 并有

Fdyx

dxFy

求导公式证明 将yf(x)代入F(x y)0 得恒等式 F(x f(x))0

dy等式两边对x求导得 FF0

xydx由于F y连续 且Fy(x0 y0)0 所以存在(x0 y0)的一个邻域 在这个邻域同Fy 0 于是得 Fdyx

dxFy

例1 验证方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x) 并求这函数的一阶与二阶导数在x0的值

解 设F(x y)x2y21 则Fx2x Fy2y F(0 1)0 Fy(0 1)20 因此由定理1可知 方程x2y210在点(0 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x0时y1的隐函数yf(x)

Fdydyxx 0

dxFyydxx0yx(x)dyyxyyy2x2d2y13； 1

dx2y2y2y3ydx2x0

2隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程F(x y)0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程F(x y z)0可以确定一个二元隐函数

隐函数存在定理2

设函数F(x y z)在点P(x0 y0 z0)的某一邻域内具有连续的偏导数 且F(x0 y0 z0)0 Fz(x0 y0 z0)0  则方程F(x y z)0在点(x0 y0 z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zf(x y) 它满足条件z0f(x0 y0) 并有

FF

zx zy



xFzyFz

公式的证明 将zf(x y)代入F(x y z)0 得F(x y f(x y))0

将上式两端分别对x和y求导 得

FxFzz0 FyFzz0 

yx因为F z连续且F z(x0 y0 z0)0 所以存在点(x0 y0 z0)的一个邻域 使F z0 于是得

FF

zx zy

xFzyFz2z

例2.设xyz4z0 求2

x

解

设F(x y z) x2y2z24z 则Fx2x Fy2z4 222

zFx2xx

xFz2z42z

z(2x)x(x)(2x)x222zx2z(2x)x

x2(2z)2(2z)2(2z)

3二、方程组的情形

在一定条件下 由个方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0可以确定一对二元函数uu(x y) vv(x y) 例如方程xuyv0和yuxv1可以确定两个二元函数uyx

v

x2y2x2y2y 事实上

xuyv0 vxuyuxxu1u22 

yyxyyvx222x2

yxyxy

如何根据原方程组求u v的偏导数？

隐函数存在定理设F(x y u v)、G(x y u v)在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又F(x0 y0 u0 v0)0 G(x0 y0 u0 v0)0 且偏导数所组成的函数行列

F(F,G)u式：

J(u,v)GuFv Gv在点P(x0 y0 u0 v0)不等于零 则方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0在点P(x0 y0 u0 v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uu(x y) vv(x y) 它们满足条件u0u(x0 y0) v0v(x0 y0) 并有

FxFvFuFxGGGG(F,G)(F,G)

u1xv

v1ux

xJ(x,v)xJ(u,x)FuFvFuFvGuGvGuGv(F,G)(F,G)

u1

v1

yJ(y,v)yJ(u,y)FuFvFuFvGuGvGuGvFyFvGyGvFuFyGuGy

隐函数的偏导数: 设方程组F(x y u v)0 G(x y u v)0确定一对具有连续偏导数的 二元函数uu(x y) vv(x y) 则

FFuFv0,xuxvxuv 偏导数 由方程组确定

uvxxGxGuGv0.xxFFuFv0,yuyvyuv 偏导数 由方程组确定

uvyyGyGuGv0.yyv 例3 设xuyv0 yuxv1 求u v u和

yxxy 解 两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

xxuxuyv0xx uvyvx0xxyuxvxuyv当x2y2 0时 解之得u22 v22

xxyxxy

两个方程两边分别对x 求偏导 得关于u和v的方程组

yyxuvyv0yy uvuyx0yyxvyuxuyv当x2y2 0时 解之得u22 v22

yxyyxy

另解 将两个方程的两边微分得

udxxduvdyydv0xduydvvdyudx

 即

udyyduvdxxdv0yduxdvudyvdx解之得 duxuyvxvyudxdy

x2y2x2y dvyuxvxuyvdxdy

x2y2x2y2xuyvxvyu于是

u22 u22

xyxyxyyuxvxuyv

v22 v22 xxyyxy

例 设函数xx(u v) yy(u v)在点(u v)的某一领域内连续且有连续偏导数

又

(x,y)0 (u,v)xx(u,v)

(1)证明方程组



yy(u,v)在点(x y u v)的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uu(x y) vv(x y)

(2)求反函数uu(x y) vv(x y)对x y的偏导数

解(1)将方程组改写成下面的形式

F(x,y,u,v)xx(u,v)0



G(x,y,u,v)yy(u,v)0则按假设

J(F,G)(x,y)0.(u,v)(u,v)由隐函数存在定理3 即得所要证的结论

(2)将方程组(7)所确定的反函数uu(x y)vv(x y)代入(7) 即得

xx[u(x,y),v(x,y)]



yy[u(x,y),v(x,y)]将上述恒等式两边分别对x求偏导数得

1xuxv

uxvx

yy0uvuxvx由于J0 故可解得

yy

u1 v1

JuxJvx

同理 可得

u1xv1x

 

yJvyJu

§8 6

多元函数微分学的几何应用

一

空间曲线的切线与法平面

设空间曲线的参数方程为

x(t) y(t) z(t)这里假定(t) (t) (t)都在[ ]上可导

在曲线上取对应于tt0的一点M0(x0 y0 z0)及对应于tt0t的邻近一点M(x0+x y0+y z0+z) 作曲线的割线MM0 其方程为

xx0yy0zz0 xyz当点M沿着趋于点M0时割线MM0的极限位置就是曲线在点M0处的切线 考虑 xx0yy0zz0

 xyzttt当MM0 即t0时 得曲线在点M0处的切线方程为

xx0yy0zz0 (t0)(t0)(t0)

曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量

T((t0) (t0) (t0))就是曲线在点M0处的一个切向量

法平面 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0 处的法平面 其法平面方程为

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

例1 求曲线xt yt2 zt3在点(1 1 1)处的切线及法平面方程

解

因为xt1 yt2t zt3t2 而点(1 1 1)所对应的参数t1 所以

T (1 2 3)

于是 切线方程为

x1y1z 

123法平面方程为

(x1)2(y1)3(z1)0 即x2y3z6

讨论

1 若曲线的方程为

y(x) z(x)

问其切线和法平面方程是什么形式

提示 曲线方程可看作参数方程 xx y(x) z(x) 切向量为T(1 (x) (x))

2 若曲线的方程为

F(x y z)0 G(x y z)0

问其切线和法平面方程又是什么形式

提示 两方程确定了两个隐函数

y(x) z(x) 曲线的参数方程为

xx y(x) z(x) dydz0FFFxyzdydzdxdx由方程组可解得和 dydzdxdxGxGyGz0dxdxdydz,) dxdx

例2 求曲线x2y2z26 xyz0在点(1 2 1)处的切线及法平面方程 

dydz02x2y2zdxdx

解 为求切向量 将所给方程的两边对x求导数 得dy1dz0dxdx切向量为T(1, 解方程组得dyzxdzxy  dxyzdxyzdy0 dz1 dxdx从而T (1 0 1)

所求切线方程为

x1y2z1



101法平面方程为

(x1)0(y2)(z1)0 即xz0

在点(1 2 1)处

二 曲面的切平面与法线

设曲面的方程为

F(x y z)0

M0(x0 y0 z0)是曲面上的一点

并设函数F(x y z)的偏导数在该点连续且不同时为零 在曲面上 通过点M0任意引一条曲线 假定曲线的参数方程式为

x(t) y(t) z(t) tt0对应于点M0(x0 y0 z0) 且(t0) (t0) (t0)不全为零 曲线在点的切向量为

T ((t0) (t0) (t0))

考虑曲面方程F(x y z)0两端在tt0的全导数

Fx(x0 y0 z0)(t0)Fy(x0 y0 z0)(t0)Fz(x0 y0 z0)(t0)0

引入向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))

易见T与n是垂直的 因为曲线是曲面上通过点M0的任意一条曲线 它们在点M0的切线都与同一向量n垂直 所以曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上 这个平面称为曲面在点M0的切平面 这切平面的方程式是

Fx(x0 y0 z0)(xx0)Fy(x0 y0 z0)(yy0)Fz(x0 y0 z0)(zz0)0

曲面的法线 通过点M0(x0 y0 z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线 法线方程为

xx0yy0zz0

Fx(x0, y0, z0)Fy(x0, y0, z0)Fz(x0, y0, z0)

曲面的法向量 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量 向量

n(Fx(x0 y0 z0) Fy(x0 y0 z0) Fz(x0 y0 z0))就是曲面在点M0处的一个法向量

例3 求球面x2y2z214在点(1 2 3)处的切平面及法线方程式

解

F(x y z) x2y2z214

Fx2x Fy2y  Fz2z 

Fx(1 2 3)2 Fy(1 2 3)4 Fz(1 2 3)6

法向量为n(2 4 6) 或n(1 2 3)

所求切平面方程为

2(x1)4(y2)6(z3)0 即x2y3z140

y2z3法线方程为x1

3讨论 若曲面方程为zf(x y) 问曲面的切平面及法线方程式是什么形式

提示

此时F(x y z)f(x y)z 

n(fx(x0 y0) fy(x0 y0) 1)

例4 求旋转抛物面zx2y21在点(2 1 4)处的切平面及法线方程

解

f(x y)x2y21

n(fx fy 1)(2x 2y 1)

n|(2 1 4)(4 2 1)

所以在点(2 1 4)处的切平面方程为

4(x2)2(y1)(z4)0 即4x2yz60

x2y1z4法线方程为 

421§8 7

方向导数与梯度

一、方向导数

现在我们来讨论函数zf(x y)在一点P沿某一方向的变化率问题

设l是xOy平面上以P0(x0 y0)为始点的一条射线 el(cos  cos )是与l同方向的单位向量 射线l的参数方程为

xx0t cos  yy0t cos (t0)

设函数zf(x y)在点P0(x0 y0)的某一邻域U(P0)内有定义 P(x0t cos  y0t cos )为l上另一点 且PU(P0) 如果函数增量f(x0t cos  y0t cos )f(x0 y0)与P到P0的距离|PP0|t的比值

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

t当P沿着l趋于P0(即tt0)时的极限存在

则称此极限为函数f(x y)在点P0沿方向l的方向导数 记作fl(x0,y0) 即

fl(x0,y0)limt0f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

t

从方向导数的定义可知 方向导数

fl(x0,y0)就是函数f(x y)在点P0(x0 y0)处沿方向l的变化率

方向导数的计算

定理

如果函数zf(x y)在点P0(x0 y0)可微分 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在 且有

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

其中cos  cos 是方向l 的方向余弦

简要证明 设xt cos  yt cos  则

f(x0tcos y0tcos)f(x0 y0)f x(x0 y0)tcosf y(x0 y0)tcoso(t)

所以

f(x0tcos, y0tcos)f(x0,y0)

limfx(x0,y0)cosfy(x0,y0)sin

tt0这就证明了方向导数的存在 且其值为

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos提示 f(x0x,y0y)f(x0,y0)fx(x0,y0)xfy(x0,y0)yo((x)2(y)2)

xt cos  yt cos (x)2(y)2t

讨论 函数zf(x y)在点P 沿x轴正向和负向

沿y轴正向和负向的方向导数如何? 提示

ff

沿x轴正向时 cos cos0

lxff 沿x轴负向时 cos1 cos0  

lx2y

例1 求函数zxe在点P(1 0)沿从点P(1 0)到点Q(2 1)的方向的方向导数

解 这里方向l即向量PQ(1, 1)的方向 与l同向的单位向量为

el(1, 1)

22 因为函数可微分 且zx所以所求方向导数为

(1,0)e2y1 z(1,0)y(1,0)2xe2y(1,0)2

z112(1)2

l(1,0)22

2对于三元函数f(x y z)来说 它在空间一点P0(x0 y0 z0)沿el(cos  cos  cos )的方向导数为

fl(x0,y0,z0)limt0f(x0tcos, y0tcos,z0tcos)f(x0,y0,z0)

t

如果函数f(x y z)在点(x0 y0 z0)可微分 则函数在该点沿着方向el(cos  cos  cos 的方向导数为

fl(x0,y0,z0)fx(x0 y0 z0)cosfy(x0 y0 z0)cosfz(x0 y0 z0)cos

例2求f(x y z)xyyzzx在点(1 1 2)沿方向l的方向导数 其中l的方向角分别为60 45 60

解 与l同向的单位向量为

el(cos60 cos 45 cos60(1, 2, 1)

222因为函数可微分且

fx(1 1 2)(yz)|(1 1 2)3

fy(1 1 2)(xz)|(1 1 2)3

fz(1 1 2)(yx)|(1 1 2)2 所以

fl3132211(532)

2222(1,1,2)

二 梯度

设函数zf(x y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0)D 都可确定一个向量

fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

这向量称为函数f(x y)在点P0(x0 y0)的梯度 记作grad f(x0 y0) 即

grad f(x0 y0) fx(x0 y0)ify(x0 y0)j

梯度与方向导数 

如果函数f(x y)在点P0(x0 y0)可微分 el(cos  cos )是与方向l同方向的单位向量 则

fl(x0,y0)fx(x0,y0)cosfy(x0,y0)cos

 grad f(x0 y0)el

| grad f(x0 y0)|cos(grad f(x0 y0)^ el)

这一关系式表明了函数在一点的梯度与函数在这点的方向导数间的关系 特别 当向量el与grad f(x0 y0)的夹角0 即沿梯度方向时 方向导数

fl取得

(x0,y0)最大值 这个最大值就是梯度的模|grad f(x0 y0)| 这就是说 函数在一点的梯度是个向量 它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向 它的模就等于方向导数的最大值

f

讨论 的最大值

l

结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

我们知道 一般说来二元函数zf(x y)在几何上表示一个曲面 这曲面被平面zc(c是常数)所截得的曲线L的方程为

zf(x,y)



zc这条曲线L在xOy面上的投影是一条平面曲线L* 它在xOy平面上的方程为

f(x y)c

对于曲线L*上的一切点 已给函数的函数值都是c 所以我们称平面曲线L*为函数zf(x y)的等值线

若f x f y不同时为零 则等值线f(x y)c上任一点P0(x0 y0)处的一个单位法向量为

n1(fx(x0,y0),fy(x0,y0))

22fx(x0,y0)fy(x0,y0)这表明梯度grad f(x0 y0)的方向与等值线上这点的一个法线方向相同 而沿这个方f向的方向导数就等于|grad f(x0 y0)| 于是

nf

grafd(x0,y0)n

n

这一关系式表明了函数在一点的梯度与过这点的等值线、方向导数间的关系 这说是说 函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同 它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线 梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数

梯度概念可以推广到三元函数的情形 设函数f(x y z)在空间区域G内具有一阶连续偏导数 则对于每一点P0(x0 y0 z0)G 都可定出一个向量

fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

这向量称为函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度 记为grad f(x0 y0 z0) 即

grad f(x0 y0 z0)fx(x0 y0 z0)ify(x0 y0 z0)jfz(x0 y0 z0)k

结论 三元函数的梯度也是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值

如果引进曲面

f(x y z)c

为函数的等量面的概念 则可得函数f(x y z)在点P0(x0 y0 z0)的梯度的方向与过点P0的等量面 f(x y z)c在这点的法线的一个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数

1

x2y2 解 这里f(x,y)212

xy 例3 求grad

因为 ff2y22x22 222

xy(xy)(xy)2y所以

gra d21222x22i222j

xy(xy)(xy)

例4 设f(x y z)x2y2z2 求grad f(1 1 2)

解 grad f(fx fy fz)(2x 2y 2z)

于是

grad f(1 1 2)(2 2 4)

数量场与向量场 如果对于空间区域G内的任一点M 都有一个确定的数量f(M) 则称在这空间区域G内确定了一个数量场(例如温度场、密度场等) 一个数量场可用一个数量函数f(M)来确定 如果与点M相对应的是一个向量F(M) 则称在这空间区域G内确定了一个向量场(例如力场、速度场等) 一个向量场可用一个向量函数F(M)来确定 而

F(M)P(M)iQ(M)jR(M)k

其中P(M) Q(M) R(M)是点M的数量函数

利用场的概念 我们可以说向量函数grad f(M)确定了一个向量场——梯度场 它是由数量场f(M)产生的 通常称函数f(M)为这个向量场的势 而这个向量场又称为势场 必须注意 任意一个向量场不一定是势场 因为它不一定是某个数量函数的梯度场

例5 试求数量场m所产生的梯度场 其中常数m>0

rrx2y2z2为原点O与点M(x y z)间的距离 rmx

解 (m)mxrr2xr3my同理

(m)3 (m)mz 3yrrzrrxiyjzk) 从而

gramdm(rrr2rryzx记erijk 它是与OM同方向的单位向量 则gradmme

rrrrr2r

上式右端在力学上可解释为 位于原点O 而质量为m 质点对位于点M而质量为l的质点的引力 这引力的大小与两质点的质量的乘积成正比、而与它们的距平方成反比 这引力的方向由点M指向原点 因此数量场m的势场即梯度场

rgradm称为引力场 而函数m称为引力势

r

r§88

多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值及最大值、最小值

定义

设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某个邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于(x0 y0)的点(x y) 都有

f(x y)f(x0 y0))

则称函数在点(x0 y0)有极大值(或极小值)f(x0 y0)

极大值、极小值统称为极值 使函数取得极值的点称为极值点

例1 函数z3x24y2在点(0 0)处有极小值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极小值

例2 函数zx2y2在点(0 0)处有极大值



当(x y)(0 0)时 z0 而当(x y)(0 0)时 z0 因此z0是函数的极大值

例3 函数zxy在点(0 0)处既不取得极大值也不取得极小值



因为在点(0 0)处的函数值为零 而在点(0 0)的任一邻域内 总有使函数值为正的点 也有使函数值为负的点

以上关于二元函数的极值概念 可推广到n元函数

设n元函数uf(P)在点P0的某一邻域内有定义 如果对于该邻域内任何异于P0的点P 都有

f(P)f(P 0))

则称函数f(P)在点P0有极大值(或极小值)f(P0)

定理1(必要条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)具有偏导数 且在点(x0 y0)处有极值 则有

fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0

证明 不妨设zf(x y)在点(x0 y0)处有极大值 依极大值的定义 对于点(x0 y0)的某邻域内异于(x0 y0)的点(x y) 都有不等式

f(x y)特殊地 在该邻域内取yy0而xx0的点 也应有不等式f(x y0)这表明一元函数f(x y0)在xx0处取得极大值 因而必有fx(x0 y0)0类似地可证fy(x0 y0)0从几何上看 这时如果曲面zf(x y)在点(x0 y0 z0)处有切平面 则切平面zz0fx(x0 y0)(xx0) fy(x0 y0)(yy0)成为平行于xOy坐标面的平面zz0类似地可推得 如果三元函数uf(x y z)在点(x0 y0 z0)具有偏导数 则它在点(x0 y0 z0)具有极值的必要条件为fx(x0 y0 z0)0 fy(x0 y0 z0)0 fz(x0 y0 z0)0仿照一元函数 凡是能使fx(x y)0 fy(x y)0同时成立的点(x0 y0)称为函数zf(x y)的驻点从定理1可知 具有偏导数的函数的极值点必定是驻点 但函数的驻点不一定是极值点例如 函数zxy在点(0 0)处的两个偏导数都是零 函数在(0 0)既不取得极大值也不取得极小值定理2(充分条件)设函数zf(x y)在点(x0 y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 又fx(x0 y0)0 fy(x0 y0)0 令fxx(x0 y0)A fxy(x0 y0)B fyy(x0 y0)C则f(x y)在(x0 y0)处是否取得极值的条件如下(1)ACB2>0时具有极值 且当A0时有极小值(2)ACB20 则函数具有极值 且当fxx0时有极小值极值的求法第一步 解方程组fx(x y)0 fy(x y)0求得一切实数解 即可得一切驻点第二步 对于每一个驻点(x0 y0) 求出二阶偏导数的值A、B和C第三步 定出ACB2的符号 按定理2的结论判定f(x0 y0)是否是极值、是极大值 还是极小值例4 求函数f(x y)x3y33x23y29x 的极值fx(x,y)3x26x90 解 解方程组2f(x,y)3y6y0y求得x1 3 y0 2 于是得驻点为(1 0)、(1 2)、(3 0)、(3 2)再求出二阶偏导数fxx(x y)6x6 fxy(x y)0 fyy(x y)6y6在点(1 0)处 ACB2126>0 又A>0 所以函数在(1 0)处有极小值f(1 0)5在点(1 2)处 ACB212(6)0 又A0 y>0}内取得 因为函数A在D内只有一个驻点 所以 此驻点一定是A的最小值点 即当水箱的长为2m、宽为2m、高为82m时 水箱所用的材料最省22 因此A在D内的唯一驻点(2 2)处取得最小值 即长为2m、宽为2m、高为82m时 所用材料最省 2从这个例子还可看出在体积一定的长方体中 以立方体的表面积为最小例6 有一宽为24cm的长方形铁板 把它两边折起来做成一断面为等腰梯形的水槽 问怎样折法才能使断面的面积最大？解 设折起来的边长为xcm 倾角为 那末梯形断面的下底长为242x 上底长为242xcos 高为xsin 所以断面面积A1(242x2xcos242x)xsin2即A24xsin2x2sinx2sin cos(0可见断面面积A是x和的二元函数 这就是目标函数 面求使这函数取得最大值的点(x )令Ax24sin4xsin2xsin cos0A24xcos2x2 cosx2(cos2sin2)0由于sin 0 x0 上述方程组可化为122xxcos02224cos2xcosx(cossin)0解这方程组 得60 x8cm根据题意可知断面面积的最大值一定存在 并且在D{(x y)|0二、条件极值拉格朗日乘数法对自变量有附加条件的极值称为条件极值例如 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积问题 设长方体的三棱的长为x y z 则体积Vxyz 又因假定表面积为a2 所以自变量x y z还必须满足附加条件2(xyyzxz)a2这个问题就是求函数Vxyz在条件2(xyyzxz)a2下的最大值问题 这是一个条件极值问题对于有些实际问题 可以把条件极值问题化为无条件极值问题例如上述问题 由条件2(xyyzxz)a2 解得za2xy 于是得2(xy)2Vxy(a2xy)2(xy)只需求V的无条件极值问题在很多情形下 将条件极值化为无条件极值并不容易 需要另一种求条件极值的专用方法 这就是拉格朗日乘数法现在我们来寻求函数zf(x y)在条件(x y)0下取得极值的必要条件如果函数zf(x y)在(x0 y0)取得所求的极值 那么有(x0 y0)0假定在(x0 y0)的某一邻域内f(x y)与(x y)均有连续的一阶偏导数 而y(x0 y0)0由隐函数存在定理 由方程(x y)0确定一个连续且具有连续导数的函数y(x) 将其代入目标函数zf(x y) 得一元函数zf [x (x)]于是xx0是一元函数zf [x (x)]的极值点 由取得极值的必要条件 有dy0dzxx0fx(x0,y0)fy(x0,y0)dxdxxx0即fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0y(x0,y0)从而函数zf(x y)在条件(x y)0下在(x0 y0)取得极值的必要条件是fx(x0,y0)fy(x0,y0)x(x0,y0)0与(x0 y0)0同时成立y(x0,y0)fy(x0,y0)设 上述必要条件变为y(x0,y0)fx(x0,y0)x(x0,y0)0fy(x0,y0)y(x0,y0)0(x0,y0)0拉格朗日乘数法 要找函数zf(x y)在条件(x y)0下的可能极值点 可以先构成辅助函数F(x y)f(x y)(x y)其中为某一常数然后解方程组Fx(x,y)fx(x,y)x(x,y)0Fy(x,y)fy(x,y)y(x,y)0(x,y)0由这方程组解出x y及 则其中(x y)就是所要求的可能的极值点这种方法可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形至于如何确定所求的点是否是极值点 在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定例7 求表面积为a2而体积为最大的长方体的体积解 设长方体的三棱的长为x y z 则问题就是在条件2(xyyzxz)a2下求函数Vxyz的最大值构成辅助函数F(x y z)xyz(2xy 2yz 2xz a2)解方程组Fx(x,y,z)yz2(yz)0Fy(x,y,z)xz2(xz)0F(x,y,z)xy2(yx)0z22xy2yz2xza得xyz6a6这是唯一可能的极值点因为由问题本身可知最大值一定存在 所以最大值就在这个可能的值点处取得 此时V6a3

高等数学课件 篇7

-----[xn1 , xn]，AA1A2An，xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，Aif(i)xi，Af(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.Alimf(i)xi.0i

1-----高等数学教案-----

n2.变速直线运动的路程: 设速度vv(t)是时间间隔[T1 , T2]上t的连续函数，路程记为s.①把区间[T1 , T2]分成n个小区间:，…，[t0 , t1] [tn1 , tn]，[t1 , t2]，ss1s2sn，tititi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[ti1 , ti]上任取一点i，siv(i)ti，-----高等数学教案-----sv(i)ti.i1n③max{t1 , t2 ,  , tn}.slimv(i)ti.0i1n3.定积分定义: 设yf(x)在[a , b]上有界.①把区间[a , b]分成n个小区间:，[x1 , x2]，…，[x0 , x1]

[xn1 , xn]，-----高等数学教案-----xixixi1(i1 , 2 ,  , n).②在每个小区间[xi1 , xi]上任取一点i，f(i)xi.i1n③max{x1 , x2 ,  , xn}.如果

limf(i)xi

0i1n存在，且此极限不依赖于对区间[a , b]的分法和在[xi1 , xi]上

-----高等数学教案-----

则称此极限为f(x)i点的取法，在[a , b]上的定积分，记为

f(i)xi.af(x)dxlim0bi1n注意：定积分 af(x)dx只与被积函数f(x)﹑积分区间[a , b]有关，而与积分变量用什么字母表示无关，即

b af(x)dx af(t)dt af(u)du b b b.4.(必要条件).如果f(x , y)在D上可积，则f(x , y)在D上

-----高等数学教案-----有界.5.(充分条件): ①如果f(x)在[a , b]上连续，则f(x)在[a , b]上可积.②如果f(x)在[a , b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a , b]上可积.6.定积分的几何意义：

①如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则

b af(x)dxs

(S是曲边梯

-----高等数学教案-----形的面积).②.如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，则 b af(x)dxs

(S是曲边梯形的面积).③如果f(x)在[a , b]上连续，且f(x)的值有正有负，则 b af(x)dx等于x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积.7.规定:

-----高等数学教案-----

①当ab时， af(x)dx0.ab

②当时，ba af(x)dxbf(x)dx.7.定积分的性质：

①f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx.b b② akf(x)dxk af(x)dx.③ b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.④如果在[a , b]上f(x)1，则

b b a1dx adxba.b b b b a a a

-----高等数学教案-----⑤如果在[a , b]上f(x)0，则

b af(x)dx0.如果在[a , b]上f(x)g(x)，则

b b af(x)dx ag(x)dx， af(x)dx af(x)dx.b b⑥设mf(x)M，则

bm(ba) af(x)dxM(b.⑦(积分中值定理)如果f(x)

-----高等数学教案-----在[a , b]上连续，则在[a , b]上至少存在一点，使得

b af(x)dxf()(ba).证:由于f(x)在[a , b]上连续，所以存在最大值M和最小值m，使得

mf(x)M，bm(ba) af(x)dxM(ba)，f(x)dx amM，ba

-----高等数学教案-----

b故在[a , b]上至少存在一点，使得

b af(x)dxf()ba即

b af(x)dxf()(ba).b1称为在f(x)dxf(x) aba[a , b]上的平均值.P23511.证: 对任意实数，有 12 0[f(x)]dx0，1 1222 0f(x)dx 0f(x)dx0

-----高等数学教案-----，所以

124 0f(x)dx4 0f(x)dx0，即

 0f(x)dx 0f(x)dx.练习1.设f(x)在[a , b]上连续，且f(x)0，证明: 12 121 af(x)dx af(x)dx(ba)b b.§5.2微积分基本公式

1.积分上限的函数(变上限

-----高等数学教案-----积分): f(x)在[a , b]上连续，称

x(x) af(t)dt x[a , b] 为积分上限的函数.2.如果f(x)在[a , b]上连续，x则(x) af(t)dt可导，且

xd(x)f(t)dtf(x) adx.x例1.求F(x) 0tsintdt的导数.解: F(x)xsinx.-----高等数学教案-----

sintdtsinx 0例2.lim lim2x0x02xx1.2 x例3.tedtlim xxxe2x x2 0t2elimx2tedtx x2 0t2xlimx(12

xlimx1

2-----高等数学教案-----



3. (x)f(t)dt

f[(x)](x)f[(x)](x)(x)1.2.xbd

例4. xaf(t)dt dxf[(xb)]f[(xa)].例

15.( xedt)ee2x xx12xe.lnx2tlnxx22

-----高等数学教案-----例6.设f(x)在[a , b]上连续，且单调增加，证明:

x1 F(x)f(t)dt axa在(a , b]内单调增加.证: 当x(a , b)时，f(x)(xa) af(t)dtF(x) 2(xa)f(x)(xa)f()(xa)2(xa)x

f(x)f()(xa)

-----高等数学教案-----

(ax).由于f(x)在[a , b]上单调增加，而ax，所以

f(x)f()F(x)0，(xa)故F(x)在(a , b]内单调增加.4.微积分基本公式(牛顿—莱布尼茨公式): 如果f(x)在[a , b]上连续，且F(x)是f(x)的一个原函数，则

b af(x)dxF(b)F(a)F(.-----高等数学教案-----

为F(x)、x(x) af(t)dt都是f(x)的原函数，所以(x)F(x)C.由于

(a)F(a)C，a(a) af(t)dt0，得

CF(a)，(x)F(x)F(a)，(b)F(b)F(a)，b即

(b) af(x)dx

F(b)F(a)

F(x).ba

-----高等数学教案-----证: 因

1

1例7. 2dxlnx2

xln1ln2 ln2.1

例 2 1 28. 01xdx 0(1x)dx 1(x1)dx

221xx(x)0(x)22

1.例9.设

x , x[0 , 1), f(x)x , x[1 , 2] ，-----高等数学教案-----2求(x) 0f(t)dt在[0 , 2]上的表达式.x解(x) x2 0tdt , x[0 , 1) 12dt x 0t 1tdt , x[1 ,x3 , 31312(x21), x3 , 31-----高等数学教案 6 ,-----

:

2] x[0 ,x[1 , 2x[0 , x[1 , 2

例10.求

x f(x)0tdt 在( , )上的表达式.0tdt , x0解: f(x)x

tdt , x002x , x02 2x , x0.2x§5.3 定积分的换元法和分部积分法

-----高等数学教案-----1.定积分的换元法:

b af(x)dx x(t)f[(t)]（其中f(x)连续，(t)有连续的导数，a()，b()，.例1. 0 4x2dx 2x11t232 32t12 x  1 tdt 2t 321 1(t3)dt 2331t(3t)1

3-----高等数学教案-----例 例

223.2. 1dx 34 1x1 x(t22t) 1(2t2)12 t2 1121 (1t)dt 2(tlnt)112

12ln2.3.2 111x 2 x2dx xsint  cost 24

-----高等数学教案-----

sin2tcostdt

2 例

2  cottdt

4 2(csc2 t1)dt

4(cottt)2

414. 5 02sinxcosxdx

 5 02cosxdcosx

(166cosx)20

16.-----高等数学教案-----

4.例5. 0x(2x)dx

12421 0(2x)d(2x)2

25111

[(2x)]0

2531

.102.设f(x)在[a , a]上连续且为偶函数，则

a a af(x)dx2 0f(x)dx.证: a 0 a af(x)dx af(x)dx 0f(x)dx.12

4-----高等数学教案----- af(x)dx xt  af(t)( 0 0

 af(t)dt  0f(t)dt  0f(x)dx.a a 0所

以

a a a af(x)dx 0f(x)dx 0f(x)dx

2 0f(x)dx.a3.设f(x)在[a , a]上连续且

a为奇函数，则

 af(x)dx0.xsinxdx.例6.求 242x3x1 2

-----高等数学教案-----

32xsinx解: 由于f(x)42x3x132是 2奇3函2数，所以

xsinxdx0. 242x3x1例7.求 1sinx(arctanx).dx 121x解: 原式1sinx 1(arctanx). 1dxdx22 11x1xsinx由于f(x)2是奇函数，1x

-----高等数学教案-----以(arctanx)是偶函数，所g(x)21x(arctanx)原式02 0 dx21x 122 0(arctanx)d(arctanx)122

312[(arctanx)]0

332()3496例8.设f(x)在[0 , a]上连续，-----高等数学教案-----.3证明:  0f(x)dx 0f(ax)dx.a a证 0f(x)dx 0 xat  af(at)(dt)a:

 af(at)dt  0f(at)dt  0f(ax)dx.a 0 a

例9.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明: f(sinx)dx

-----高等数学教案-----2 0f(cosx)dx.2 0 证: f(sinx)dx

 xt 2 2 0f(cost)(d 2 0

f(cost)dt

2 0f(cosx)dx.2 0

例10.若f(x)在[0 , 1]上连续，证明:  0xf(sinx)dx .f(sinx)dx 02 

-----高等数学教案-----证:  0xf(sinx)dx

0 xt  (t)f(sint)

 0(t)f(sint)dt  0f(sint)dt 0tf(sint)dt

 0f(sinx)dx 0xf(sinx)dx.    解 0 得

.f(sinx)dx 02例11.若f(x)为连续函数，xf(sinx)dx

-----高等数学教案-----且ef(xt)dtxe，求f(x)的表达式.xt证:  0ef(xt)dt xt 0x txu  xe 0xuf(u)(du)

eef(u)du x xue 0ef(u)du.ux 0 x所以eef(u)duxe，得

xu 0ef(u)dux.将上式两边对x求导数，得

x ef(x)1，x x 0ux

-----高等数学教案-----即

f(x)e.4.定积分的分部积分法:

x

 auvdx(uv) auvdx.bba b

例12. 1lnxdx(xlnx) 1dx

55ln5x1 55155ln54.例13. 0xedx(xe) 0edx

x1ee0 1xx10 1x1.例14.若f(x)是以T为周期的连续函数，证明:

-----高等数学教案----- af(x)dx 0f(x)dx 其中a为常数.aT T证:  a 0 aTf(x)dx

T aT af(x)dx 0f(x)dx T aT Tf(x)dx

af(x)dx

xuT  0f(uT)du  0f(u)du  0f(x)dx  af(x)dx.0 a a所以

 a aT 0f(x)dx

T 0 af(x)dx 0f(x)dx af(x)dx

-----高等数学教案----- 0f(x)dx.T例15.设f(x)在( , )上连续，证明: 1lim[f(xh)f(x)]dxf(b)f(a)

bh0h a证: 设f(x)的一个原函数为F(x)，则

b1lima [f(xh)f(x)]dx h0h[F(xh)F(x)]lim h0hF(bh)F(b)limh0hF(ah)F(a)limh0h

-----高等数学教案-----

baF(b)F(a)f(b)f(a).§5.4 反常积分 1.无穷限的反常积分: ①设f(x)在[a , )上连续，存在，f(x)dxta，如果tlim a则称反常义积分 af(x)dx收敛，且

t

 af(x)dxtlim.f(x)dx a t否则称反常积分 af(x)dx发散.

-----高等数学教案-----②设f(x)在( , b]上连续，tb，如果limtf(x)dx存在，tb则称反常义积分f(x)dx收敛，且

b

f(x)dxtlim.f(x)dxtb b否则称反常积分f(x)dx发散.③设f(x)在( , )上连 0 续，如果 f(x)dx与 0f(x)dx都收敛，则称反常积分  f(x)dx收敛，且

b

-----高等数学教案----- f(x)dx  f(x)dx 0f(x)dx.0 否则称反常积分 f(x)dx发散.2.引入记号:

F()limF(x)，xF()limF(x).x若在[a , )上F(x)f(x)，则当F()存在时， af(x)dxF()F(a)

[F(x)].a

-----高等数学教案-----若在( , b]上F(x)f(x)，则当F()存在时，bf(x)dxF(b)F()

[F(x)].b若在上( , )F(x)f(x)，则当F()与F()都存在时，f(x)dxF()F()

[F(x)].例1.判断反常积分

x 0xedx

2-----高等数学教案-----是否收敛，若收敛求其值.x1解: 原式(e)0 2x11

xlim(e) 221 .2

例2.判断反常积分

1 cosxdx

22的敛散性.解: 原式(sinx)

1sin(1)limsinx.xsinx不存在，由于xlim所以反

-----高等数学教案-----常积分 cosxdx发散.例3.讨论反常积分 1 1 1xdx.解: 1 1xdx (lnx)1 , (111x)1

-----高等数学教案-----

1 1的敛散性 ,  , 1 , 1 11 , 1 1 1xdx，当1时发散.例4.判断反常积分

 1 1x2dx.解:  1 1x2dx

-----高等数学教案-----

1所以反常积分时收敛，当 的敛散性 (arctanx)0(arctanx)0



22. 1 

例5.判断反常积分

1dx

2xx 的敛散性.1dx解:  1 2xx 11 1()dx x1x[lnxln(1x)]1

-----高等数学教案-----

x[ln]1 1xx1limlnln x1x2ln2.3.如果f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么称点a为f(x)的瑕点.4.无界函数的反常积分(瑕积分): ①设f(x)在(a , b]上连续，点a为f(x)的瑕点，ta.如果limtf(x)dx存在，则称反常积ta

-----高等数学教案-----b分 af(x)dx收敛，且 b

 af(x)dxlimtf(x)dx.b bt a否则称反常积分 af(x)dx发散.②设f(x)在[a , b)上连续，点b为f(x)的瑕点，tb.如果

blimaf(x)dx存在，则称反常积tbt分 af(x)dx收敛，且 b

 af(x)dxlimaf(x)dx.btt b否则称反常积分 af(x)dx发散.③设f(x)在[a , b]上除点c(acb)外连续，点c为f(x)的 b

-----高等数学教案-----瑕点.如果两个反常积分

b c af(x)dx、 cf(x)dx都收敛，则

b称反常积分 af(x)dx收敛，且 b c b af(x)dx af(x)dx cf(x)dx.b否则称反常积分 af(x)dx发散.5.引入记号: ①设F(x)为f(x)在(a , b]上的一个原函数，a为f(x)的瑕点，则

b af(x)dxF(b)limF(x)

xa[F(x)].ba

-----高等数学教案-----②设F(x)为f(x)在[a , b)上的一个原函数，b为f(x)的瑕点，则

b af(x)dxlimF(x)F(a)

xb[F(x)].ba

例6.判断反常积分 0lnxdx的敛散性.1解: 0lnxdx(xlnx)0dx 11010lim(xlnx)x

x 0101.-----高等数学教案-----

1例7.讨论反常积分 0dxx 1的敛散性.解:  11 0xdx

(lnx)10 , 1(1111 x)0 , 1

0limx 0lnx , 1lim 0(11x11x)

-----高等数学教案-----

1 1 , 1 , 11 , 1  , 1 11所以反常积分 0dx，当1x时收敛，当1时发散.11

例8.判断反常积分 12dxx的敛散性.1解:  12dx x 01 11 12dx 02dx

xx 1

-----高等数学教案-----

单数双数课件系列7篇

教案课件是老师需要精心准备的，但老师也要清楚教案课件不是随便写写就行的。做好教案课件的前期设计，才能按质按量地达到预期教学目标，教案教案会包含哪些部分？关于“单数双数课件”以下是我为您撰写的一些相关内容，希望我的意见能够对你有所帮助请记得将它收藏起来！

单数双数课件 篇1

活动目标

1.在游戏中复习10以内的单双数，知道单双数的含义。

2.能熟练区别单双数，并会用标记表示。

3.体验分组活动的乐趣，知道如何整理自己的操作材料。

活动准备

课件；点卡、动物卡、数字卡若干；铅笔、夹子若干。

活动过程

一、帮小动物找朋友，知道单双数师：美丽的春天来了，许多小动物到草地上来玩游戏，看看是谁呀？看ppt（小乌龟、小狗、小蜜蜂）1．看看小乌龟有几只？用数字几表示？（5）2．小狗有几只？用数字几表示？小蜜蜂有几只？用数字几表示？

3．他们是双数还是双数呢？你怎么知道？

4．小乌龟请小朋友帮他找找好朋友。（请一幼儿上去拖小乌龟）多出来一只小乌龟了，我们说5只小乌龟是单数。

5．小狗呢？他是单数还是双数？谁来帮他们找朋友？（请一幼儿上去拖小狗）小狗说谢谢你，有没有帮他们都找到朋友？所以6只小狗是双数。

6．小蜜蜂着急了，他也想来找朋友，看看自己是单数还是双数，谁来帮助他们？（请一幼儿上去拖小蜜蜂）现在小蜜蜂2个2个地都找到朋友了吗？像7只小蜜蜂这样的数叫单数。

二、练习巩固师：还有一些小动物也来参加我们的游戏了，想知道他们是谁吗？看看你认识他们吗？是哪些小动物呢？他们要玩一个“小动物找家”的游戏，你们会帮他们吗？

1．游戏规则：请你们把单数的小动物放进“单数”的家，把双数的小动物送进“双数”的家。

2．请一幼儿操作3．小动物们都回家了吗？我们来检查一下（检查工具）4．小点子也想参加游戏，你能不能帮他找到自己的家？（请一幼儿操作、检查）5．数字宝宝可着急了，他们也想回家。瞧，他们来啦，你愿意帮他们吗？把单数宝宝送到单数宝宝家，把双数宝宝送到双数宝宝家。（请幼儿讲，教师送，然后检查）四、游戏巩固1．师：今天老师带来了许多卡片宝宝，这些卡片宝宝也想和小朋友一起玩游戏，想来考考我们小朋友的小耳朵、小手能干不能干，你们准备好了吗？

2．师：请你们上来拿一张卡片，卡片上面是单数。（幼儿到篓子里拿一张卡片）看看你的卡片上是几？是单数还是双数？

3．师：请你们上来拿一张卡片，卡片上面是双数。谁能告诉大家：你找到的'是几？看看你旁边的找朋友拿得对不对？

4．听要求举卡片，然后把卡片送回家休息。

五、作业巩固1．师：老师在后面还准备了很多游戏：

第一组：上面是点子卡片，用笔把这些点子2个2个地连一连，然后在下面的单双数上做选择。

第二组：这是动物卡片，用笔把这些点子2个2个地连一连，然后在下面的单双数上做选择。

第三组：这是数字卡片，上面有两条数字，但是要求不一样，上面一条数字下面有几个记录框，旁边有几个点子？（1个）是单数还是双数？请你在这一条数字下面的对应框里打勾。下面一条数字是找单数还是找单数？请你来找一找好吗？

2．要求：小朋友每人挂一个夹子，做好一个作业就夹在夹子上带走，每个作业都要去做一做。看谁完成得又快又对。

3．幼儿作业4．集体作业：

看，刚才有一个小朋友在这里玩游戏呢，我们来检查一下，看看他做得对不对？（ppt）先干嘛？（找好朋友）说一说是单数还是单数？为什么？在什么后面打钩？

5．相互检查作业

活动目标：

1、通过操作、游戏，要求幼儿能迅速区别出10以内的单数、双数。

2、幼儿的动手、分辨能力，发展幼儿思维的灵活性。

活动准备：

几何图形挂件一人一个，数字卡片，演示教具，魔术卡每人一张活动过程：

一、带幼儿进知识宫，激发幼儿的兴趣。

师：今天老师要带小朋友到知识宫去玩。在知识宫，老师要给小朋友好多礼物，但这些礼物一定要小朋友动脑筋才能够得到。第一份礼物需根据自己挂着的图形和图形上的数字找座位，找到了，这个图形就作为第一份礼物送给你们。

二、复习单数和双数。

1、通过观察，继续感知什么是单数，什么是双数。

师：小朋友真聪明，都找到了座位。（演示教具）大家仔细看一看上面有些什么，他们排队有什么不同。（6条鱼，5只乌龟）幼儿回答，教师归纳。

2、思考：你们挂着的图形上哪些数是单数，哪些数是双数？

3、游戏：抱一抱（1）规则：教师任一出示1—10中的一个数字，幼儿根据数字做相应的动作。（单数——自己抱一抱，双数两个人抱一起）（2）游戏反复进行，教师不断变化数字，期间问幼儿为何要自己抱住自己或两个人抱在一起的理由。

三、变魔术：

师：小朋友真了不起，知识宫的问题都难不到你们。现在我们一起来变一个魔术好吗？变出来了呢，就作为第二份礼物送给你们，现在听好老师告诉你们怎么变。

四、开火车游戏，出知识宫。

单数双数课件 篇2

活动名称：

数学《10以内的单双数》

活动目标：

1，理解10以内单双数的含义，区分物品数量的单双，了解单双数在生活中的运用。

2，感受10以内单双数的排列规律，初步尝试辨别简单两位数的单双数。

3，能愉快、积极地参与数学活动，锻炼思维的灵活性。

活动重难点：

重点：理解10以内单双数的含义，了解单双数在生活中的运用。

难点：感受单双数的排列规律，初步尝试辨别简单两位的单双数。

活动准备：

多媒体课件、超市代币券操作卡，超市物品图片若干，彩笔(同幼儿数)，标有价格的超市物品(同幼儿数)，单、双标识卡，货物架。

活动过程：

一、创设2元超市购物游戏，引起幼儿活动兴趣。

1.出示2元超市货架，引起幼儿兴趣，了解2元超市的特点。

2.出示5元代币券，引导幼儿尝试“怎样在2元超市购物”。

二、幼儿在操作中，初步体验、感受10以内的单双数。

1.幼儿操作代币券在2元超市购物，初步了解单双数的不同。

教师与幼儿个别交流后，请幼儿说一说:

哪些代币券有剩余钱币？哪些代币券没有剩余？

2.出示红、蓝房子，帮数字找家，区分10以内的单双数。

幼儿操作：将单、双数代币券分别归类到红(单数)、绿(双数)的房子里。

(幼儿操作白板课件)

总结规律：2个2个数，都有好朋友，就是双数。2个2个数，剩下1个孤孤单单的就是单数。

3.通过寻找自己身体上的单、双数，巩固对单、双数的认识。

三、了解单、双数的排列规律。

出示1-10数字，初步发现单、双数的间隔排列规律。

小结：一个单数，一个双数，单双单双，永远都是好朋友，交替排列。

四、“超市理货员”游戏，加深巩固幼儿对单双数的理解、区分。初步掌握简单两位数单双数的区分。

1.就“超市理货员”游戏进行评析：“是否按照价格是单数还是双数摆放的物品”？

2.引导幼儿观察1和11，2和12，寻找其规律。

小结：10以上的数字，不论大小，只要看这个数字的尾数，就能判断是单数还是双数。尾数是单数，这个数就是单数；尾数是双数，这个数就是双数。

3.请幼儿对“13、14”进行单双数的区分

引导幼儿用“尾数是什么数这个数就是什么数”的规律来区分、验证单双数。

五、拓展幼儿经验，感受生活中的单双数。

引导说一说生活中用到的单双数，进一步拓展幼儿对生活中单双数运用的认识。

延伸活动：

引导幼儿继续找一找生活中的单双数，了解在我们生活中的重要性。

活动反思：

本次活动主要是让幼儿能够初步建立单双数概念，学习区分10以内的单双数。单双数是比较抽象的概念，只靠说教给幼儿很难区分。我以《逛超市》的游戏情境贯穿于整个活动始终，让幼儿在富有生活气息的游戏中轻松掌握单双数的概念，在操作中区分10以内的单双数。

1.生活化、游戏化情境，有效激发幼儿学习兴趣。

通过幼儿已有的“购物”生活经验引入主题，再进一步尝试“2元购物”这一特有形式激发幼儿参与的积极性。

2.紧扣活动目标，有效设置活动环节。

从学习“如何使用5元代币券到2元超市购物”到“我们也到2元超市”；从“你的代币券剩下了吗？”到“相同的是买到了一样多的东西，不同的是3元代币券剩下1个，4元代币券没有剩下”这些有效环节的设置，使幼儿对单双数概念的理解、掌握更具象、容易。

3.准确把握教学语言，形成了有效的师生互动。

提供有效的操作材料，注重引导幼儿与教师、同伴以及材料之间的互动，促进幼儿主动建构知识。通过操作、比较、寻找规律、发现规律的过程理解掌握单双数的概念。

4.定位准确的拔高拓展。

在幼儿掌握规律的基础上，对简单的两位数(11-14)进行单双数的区分。此过程既对幼儿掌握概念后的应用进行了验证，又避免过度拔高，小学化倾向的出现。

单数双数课件 篇3

一活动目标：

1.在活动中理解单数和双数的含义。

2.能区分10以内的单数和双数。

二活动准备：

1幼儿自己制作的瓢虫（人手一个），记录纸

2大瓢虫（背上没有黑点），笔、数字卡

三活动过程：

1单数和双数

教师借助大瓢虫告诉孩子，大瓢虫身上的黑点能两两对应的，那么这个数就是双数；有一个黑点多出来的，那么这个数就是单数。

请幼儿在自己制作的瓢虫上尝试，看看从1到10中，哪几个数是双数，哪几个数是单数，并把结果记录在记录纸上。

2集体学习，进行纠正

教师在大瓢虫上演示过程，帮助幼儿核对、纠正。

总结：1、3、5、7、9是单数；2、4、6、8、10是双数。

提问：我们身体上什么是单数，什么是双数？

3.游戏

教师任意出示110内的一个数字卡，幼儿识别是单数还是双数，然后用动作表示。如：单数拍手，双数跺脚。

单数双数课件 篇4

活动目标：

1、认识10以内单、双数，引导幼儿理解单双数的实际意义。

2、幼儿在不断操作尝试过程中体验成功的快乐，激发幼儿学习数学的兴趣。

3、发展幼儿对数的辨别能力和快速反应能力。

活动准备：

1、每人一个小碗，内有操作材料：黑白围棋子若干，记录纸每人两张，记号笔每人一支。

2、ppt，笔记本，小黑板两块，笑脸和哭脸图标各一个，写着单数和双数的图标各一个，写数字用的便签纸，车牌号，小桥，单号和双号牌各一个。

活动过程：

一、引出：请小朋友做小科学家，一起来探索一下数字的秘密。看谁能通过自己的探索，发现其中的秘密。

二、幼儿操作

1、介绍操作材料：林老师为每位小朋友准备了一份操作材料。里面有黑白两色的围棋子，请你分别给它们排好队数一数各有几颗，然后在两张白纸上分别记下它们的数量。接下去，还有一样任务，就是请你们分别给它们找好朋友，两个两个放在一起配配对，如果最后发现有一个单独找不到朋友的，请在数字下面画上一个哭脸，如果最后都能找到朋友，配成对儿的，我们给它画上一个笑脸。然后请你分别把你的哭脸和笑脸记录卡贴到前面的黑板上。

2、儿操作，教师巡回指导。

三、集中，区分10以内的单双数。

1、分别看笑脸和哭脸，笑脸这儿是哪些数字？哭脸这儿又是哪些数字？

幼儿边说，教师边记录数字。小结：笑脸这边的数字是两个两个配对，到最后都能配成对的，我们叫它双数；而哭脸这边的数字是两个两个配对，到最后只剩下一个单的不能配成对的，我们把这个数字叫做单数。

2、ppt展示，集体区分10以内的单双数。

3、变脸游戏，进一步发现数字排列中单双数间隔的秘密。你发现了什么？

4、在身体上寻找分别以单、双数形式存在的器官及物体。

四、区分10以上的单双数。

1、女孩子的人数是单数还是双数，并想办法验证。用配对的方法，两两抱一抱。（女孩11名，为单数）

如果加上林老师呢？有几位？是单数还是双数？你是怎么知道的？

2、集体说出更多的单双数，发现辨别单双数的秘密：看最后一个数字，如果是单数，那整个数字就是单数，如果是双数，那整个数字就是双数。

3、区分幼儿学号的单双数。（3、4、5、8、10、11、13、14、15、17、18、20、22、23、26、28、29、30、32、34）

1）请13号站到前面，请大家说说他的学号是单号还是双号？你是怎么知道的？

2）请剩下的幼儿说说自己的学号，集体判断是不是双号？帮助个别幼儿纠正。

五、请小科学家们解决一个生活中的难题。游戏：按单双号过桥。

1、提问：由于现在汽车越来越多，而宁波甬江上的桥数量有限，怎样让车辆不拥挤顺利过桥呢？能不能用我们今天学的单、双数的知识来解决这个问题呢？

人们想到了一个办法，就是单数日子时只能让单牌号的车过桥，双数日子时只能让双牌号的车过桥。

2、看ppt，区别车牌的单双数。

3、游戏：每位幼儿一个车牌号，按教师出示的日期按单双号过桥，教师当警察，在桥边检查过桥车辆。

4、结束游戏：单牌号车请到单号停车场休息，双牌号车请到双号停车场休息。请相互检查车辆停放是否正确。

活动延伸：

带领幼儿到生活中寻找以单数或双数形式存在的物体。

单数双数课件 篇5

活动目标：

1．幼儿通过操作及游戏能较熟练地分辩10以内的单数、双数。

2．培养幼儿思维的灵活性，提高幼儿在数学活动中的分析和总结能力。

3．幼儿在游戏中体验参加数学活动的乐趣。

4．培养幼儿的尝试精神，发展幼儿思维的敏捷性、逻辑性。

5．培养幼儿相互合作，有序操作的良好操作习惯。

活动准备：

小动物、背景图、幼儿操作纸、笔活动过程：

1．创设情境，诱发兴趣。

（1）一年一度的动物狂欢节开始了，森林里的动物都来参加了，我们来看看有哪些小动物来参加了？它们各自有几个？

（2）幼儿分别说出每个动物的数量。

2．自主参与，探索新知：（1）进入绿、红色通道的要求：狂欢节的管理员说，这次动物这么多，需要分批进入，首先绿色通道的是一种动物里能两个两个结对的可以优先入场。教师先示范小动物两两结对找出单双的`方法：依次了解2个兔子、10只猴子、8只猪、4只公鸡、6条蛇。

（2）还有一些一种动物里剩下一个的要从红色通道进入，他们分别是：7只鸟、1只老虎、三只小老鼠、9只蝴蝶、5只松鼠。

（3）还有很多小动物想参加，管理员说忙不过来，请小朋友来帮忙。

（4）幼儿操作，根据能力操作材料的分配，圈完贴上墙。

（5）教师总结：两个两个找朋友，到最后剩下一个，孤孤单单没有朋友，这样的数叫单数；两个两个找朋友，最后都有朋友，没有剩下，这样的数叫双数。教师进行校对3．游戏巩固：

（1）小动物们都区分了单双数，邀请幼儿一起前往，进入单双数的舞池，幼儿站立到单双数的舞池中（再次确定幼儿是否掌握）（2）游戏"抱双，躲单"。

老师报10以内的数，幼儿做相应的躲和抱的动作。如：报的是单数，幼儿蹲下，双手合并放在身子的两边，表示孤单的样子，报的是双数，幼儿找到一个朋友抱抱。

4．在游戏中结束活动。

活动反思：

《认识10以内单双数》是一个数学活动，其主要目标是：初步理解单数与双数的含义。学习区分10以内的单数和双数。如何将枯燥无味的数学活动融入孩子的生活，激发孩子对数学活动的兴趣，是数学活动的主要目标。教育家陈鹤琴先生曾经说过：“游戏时幼儿的生命”，我设计的这个活动，抛开了以往陈旧的教学模式，整个活动以游戏贯穿，让孩子在快乐的游戏中区分10以内的单数和双数。活动中，我通过设计了“2元超市”购物的情景。让幼儿在富有生活气息购物活动中感知理解单双数的概念，在操作中区分10以内的单双数。并在此基础上进一步拓展，启发幼儿寻找身上哪些器官的个数是单数还是双数。在一系列活动中循序渐进、富有挑战性的游戏中促进了幼儿对单双数概念更深刻的理解。孩子们在轻松愉快的氛围中学会了10以内的单双数。

在取得成功的同时也存在一些不足，在活动中幼儿与老师的交流多了，幼儿与幼儿之间的交流少了，不能很好的进行交流与沟通，这一点在以后教学中会多加注意。

总之，整堂课下来，课堂氛围很好，幼儿也很投入，回答问题也很积极，幼儿都表现出浓厚的兴趣，并积极投入到探索活动中来。

单数双数课件 篇6

活动目标：

1、通过操作、游戏，要求幼儿能迅速区别出10以内的单数、双数。

2、幼儿的动手、分辨能力，发展幼儿思维的灵活性。

活动准备：

几何图形挂件一人一个，数字卡片，演示教具，魔术卡每人一张

活动过程：

一、带幼儿进知识宫，激发幼儿的兴趣。

师：今天老师要带小朋友到知识宫去玩。在知识宫，老师要给小朋友好多礼物，但这些礼物一定要小朋友动脑筋才能够得到。第一份礼物需根据自己挂着的图形和图形上的数字找座位，找到了，这个图形就作为第一份礼物送给你们。

二、复习单数和双数。

1、通过观察，继续感知什么是单数，什么是双数。

师：小朋友真聪明，都找到了座位。（演示教具）大家仔细看一看上面有些什么，他们排队有什么不同。（6条鱼，5只乌龟）

幼儿回答，教师归纳。

2、思考：你们挂着的图形上哪些数是单数，哪些数是双数？

3、游戏：抱一抱

（1） 规则：教师任一出示110中的一个数字，幼儿根据数字做相应的动作。（单数自己抱一抱，双数两个人抱一起）

单数双数课件 篇7

活动目标：

1、通过幼儿尝试操作，能熟练区分10以内的单、双数。

2、培养幼儿从身边事物中发现单双数的能力。

3、培养幼儿比较和判断的能力。

4、发展幼儿逻辑思维能力。

5、引发幼儿学习的兴趣。

活动准备：

1、课件、音乐《小树叶》、玩具小火车。

2、幼儿分组操作材料（树叶、小猫小狗图片、纽扣、瓶盖）

重点难点：

正确区分10以内的单双数，知道两相配的是双数，余下的一个不能两两相配的是单数。

活动过程：

一、以歌曲导入活动，激发幼儿兴趣。

二、学习新知，让幼儿找出10以内的单数、双数。

1、出示挂图，让幼儿感知什么是单数，什么是双数。

2、幼儿分组操作（小猫小狗图片、纽扣、瓶盖废旧品），尝试区分10以内的单、双数。

三、开火车体验学数学快乐，结束教学。

活动反思：

首先我以歌曲导入活动，激发幼儿兴趣，自然导入新知，其次我运用课件让幼儿学习新知，最后我引导幼儿进入操作区巩固新知。