人教版六年级数学上册确定起跑线教学设计反思

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《人教版六年级数学上册确定起跑线教学设计反思》这是一篇六年级上册数学教案，《确定起跑线》是一节数学综合实践课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。

【教学内容】人教版课程标准实验教科书《数学》六年制上册第75—76页

【教材简析】《确定起跑线》是一节综合应用数学知识的实践活动课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。教材设计这个数学综合实践活动，一方面让学生了解田径场跑道的结构，通过小组合作的探究性活动，综合运用所学的知识和方法，动手实践解决问题，学会确定起跑线的方法；另一方面让学生体会数学在日常生活中的应用价值，增强学生应用数学的意识，不断提高实践能力和解决问题的能力。

【教学目标】

1、通过数学活动让学生了解田径跑道的结构，学会确定跑道起跑线的方法。

2、结合具体的实际问题，通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。

3、在主动参与数学活动的过程中,让学生切实体会到探索的乐趣，感受到数学知识在生活中的广泛应用。

【教学重点】通过对跑道周长的计算，了解田径场跑道的结构，能根据所学知识解决确定起跑线的问题。

【教学难点】综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置与什么有关。

【教学过程】

一、创设情景，提出问题：

（1）播放2009年世界田径锦标赛男子100米决赛场面，博尔特以9秒58创新世界纪录。

师：100米赛为什么那么吸引人？让那么多人为这9秒58而欢呼不停？（因为公平，才吸引人。与学生聊一聊比赛中公平的话题。）

（2）播放2009年世界田径锦标赛男子400米决赛场面。

师：看了两个比赛，你们有什么发现，又有什么想法？（组织学生交流）

（100米跑运动员站在同一条起跑线上，而400米跑运动员为什么要站在不同的起跑线上？YJS21.Com

400米跑的起跑线位置是怎样安排的？外面跑道的运动员站在最前，这样公平吗？）

师：今天，我们就带着这些问题走进运动场，用我们学过的知识来研究、解决这些问题，了解比赛的时候各跑道的起跑线是如何确定的。

二、观察跑道、探究问题：

（一）观察思考，找出问题关键。

（课件出示完整跑道图）

师：观察跑道图，每条跑道一圈的长度相等吗？差别在哪里昵？比赛的时候，是怎样解决这个问题的？怎样才能做到公平比赛？

（二）分析比较，确定解决问题思路。

1、小组交流：观察跑道图，说一说，每一条跑道具体是由哪几部分组成的？内外跑道的差异是怎样形成的？

学生充分交流得出结论：

①跑道一圈长度＝2条直道长度＋一个圆的周长

②内外跑道的长度不一样是因为圆的周长不一样。

2、小组讨论：怎样找出相邻两个跑道的差距？

①分别把每条跑道的长度算出来，也就是计算2个直道长度与一个圆周长的总和，再相减，就可以知道相邻两条跑道的差距。

②因为跑道的长度与直道无关，只要计算出各圆的周长，再算出相邻两圆的周长相差多少米，就是相邻跑道的差距。

（三）计算验证，解决问题：

师：计算圆的周长要知道什么？

生：直径

师：第一道的直径为72.6米，第二道是多少？第三道呢？

（让学生选择自己喜欢的方法进行计算）

方法一：计算完成下表。

方法二：

75.1×3.14－72.6×3.14＝7.85（m）

77.6×3.14－75.1×3.14＝7.85（m）

……

（引导学生将3.14159换成π进行计算）

师：刚才大家通过计算已经知道了400米跑相邻两个跑道长度大约相差7.85米，也就是相邻跑道的起跑线应该相差7.85米。哪一种方法更快更简便呢？

生：第二种方法更简便。

师：如果我们在计算圆的周长时直接用π来表示，看你有什么发现？

（72.6＋1.25×2）π－72.6π

＝72.6π－72.6π＋1.25×2×π

＝1.25×2×π

（75.1＋1.25×2）π－75.1π

＝75.1π－75.1π＋1.25×2×π

＝1.25×2×π

……

（相邻跑道起跑线相差都是“跑道宽×2×π”）

师：从这里可以看出：起跑线的确定与什么关系最为密切？

生：与跑道的宽度关系最为密切。

师（小结）：同学们经过努力终于找到了确定起跑线的秘密！对了，其实只要知道了跑道的宽度，就能确定起跑线的位置。

三、巩固应用，形成技能：

1、师：小学生运动会的跑道宽比成人比赛的跑道宽要窄些，要开小学生运动会，你能帮裁判计算出相邻两条跑道的起跑线又该相差多少米吗？400米的跑步比赛，跑道宽为1米，起跑线该依次提前多少米？如果跑道宽是1.２米呢？

2、在运动场上还有200米的比赛，跑道宽为1.25米，起跑线又该依次提前多少米？

四、回顾小结，体验收获：

谈一谈，这节课你有什么收获？

【反思】

《确定起跑线》是一节数学综合实践课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。通过这个活动一方面让学生了解椭圆式田径场跑道结构，学会确定跑道起跑线的方法，另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。孩子们都知道有的比赛起跑线不一样，但并不知道是什么原因。结合实际情况，学生能够理解“为什么起跑线位置会不同”这个问题，因此，让学生推导确定起跑线位置的过程及其实践运用是本节课的重点，而理解起跑线的位置与什么有关则是教学的难点。

其实六年级的学生对起跑线并不陌生，但可能很少从数学的角度去思考200米、400米等起跑线位置为什么不同，相差多少。因此本节课我使用课件呈现了两个比赛场景，让学生学生观察不同的起跑场景，比较不同点，从而引入需要研究的数学问题。经过观察发现：每条跑道的长度不同，如果在同一条跑道上，外圈的同学跑的距离长，所以外圈跑道的起跑线位置应该往前移。然后通过多媒体呈现跑道的有关信息，学生在老师的引导下对已获得的信息进行梳理，使学生观察表明：每圈跑道的长度等于两个半圆形跑道合成的圆的周长加上两个直道的长度。学生在小组内借助计算器试算后，汇报方法。从中对多种算法进行优化，如各条跑道直道长度相同，因此跑道之间的差就在两个半圆形跑道合在一起的圆的周长的差。通过不同的方式，计算相邻跑道的长度差，不断对探究方法进行优化，接近造成相邻跑道长度差的根源，让学生明白相邻跑道长度差和跑道宽度的关系。

数学教学可贵之处是引导学生善于发现规律、寻找规律。本节课，充分调动学生对有关知识和生活的积累，通过自主探索、观察分析、合作学习、交流辩论、互相启发，把相邻两条跑道的长度差计算方法，从繁杂到简洁、从死算到活化。最后得出规律是一个常数。让学生享受到成功的喜悦。在这里，我充分利用多媒体动画直观演示，得出两个圆的直径的差也就是里圆的直径加上两个跑道的宽度。由此得出最简单的方法：相邻跑道差=∏×2×道宽。数学来源于生活，同时也服务于生活，应用学到的知识解决实际生活中的问题，不但使学生感受到数学与实际生活是密切联系的，提高学生分析和解决问题的能力。为此，巩固练习环节我设计了一组练习：确定200米、400米跑步比赛，跑道宽为1.5米，起跑线应依次提前多少米？跑道宽为1.2米，起跑线应依次提前多少米等问题。

课后回顾整节课的教学过程和学生的表现，也发现了一些值得思考的问题：比如在计算时，是否把π留着，不计算出来，结果用几π表示出来，到最后比较时学生很容易归纳出“Nπ”来。这样学生有利把重点放在方法的探究上，而不是对计算结果的争议上，这节课尽管学生借用了计算器，但还是在计算上花了比较长的时间。另外，在计算方法的探究过程中，我有意放手让学生自主探究方法，再汇报。意在学生亲自动手参与计算后在汇报中把计算方法达到最优化。但在教学中，我却提出问题，匆匆的结束探究，急急的指名汇报，让部分学生还不知从何开始就“到此结束”。同样的情形在练习中也再次重演，当学生在汇报200米比赛中的起跑线该怎么确定时也是学生说得不够，用部分学生的想法替代了全部学生的思维。因此，本节课的教学方式是否面向了全体还有待改进。

另外，一些细节的把握做的不是特别到位，以后应加强照顾后进生，让他们也能真正学会东西，同时不断提高自身水平，让教学变的更加精彩。

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新人教版六年级上册数学《确定起跑线》教学设计教案反思

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《新人教版六年级上册数学《确定起跑线》教学设计教案反思》这是一篇六年级上册数学教案，课的开始我设计了一场不公平的比赛，让学生发现了比赛中存在的问题，并且提出问题。

第10课时确定起跑线

主备人：时间：2014.9课型：实践活动课

教学内容：教材80—81页

教学目标：

1、通过数学活动让学生了解田径跑道的结构，学会确定跑道起跑线的方法。

2、结合具体的实际问题，通过观察、比较、分析、归纳等数学活动，让学生通过独立思考与合作交流等活动提高解决实际问题的能力。

3、在主动参与数学活动的过程中,让学生切实体会到探索的乐趣，感受到数学知识在生活中的广泛应用。

教学重点：通过对跑道周长的计算，了解田径场跑道的结构，能根据所学知识解决确定起跑线的问题。

教学难点：综合运用圆的知识解答生活中遇到的实际问题，探究起跑线位置的设置与什么有关。

教学过程：

一、创设情景，提出问题：

1、播放2009年世界田径锦标赛男子100米决赛场面，博尔特以9秒58创新世界纪录。

师：为什么那么多人为这9秒58而欢呼不停？

（与学生聊一聊比赛中公平的话题。）

2、播放2009年世界田径锦标赛男子400米决赛场面。

师：看了两个比赛，你们有什么发现，又有什么想法？

学生交流：①100米跑运动员站在同一条起跑线上，而400米跑运动员为什么要站在不同的起跑线上？

②400米跑的起跑线位置是怎样安排的？外面跑道的运动员站在最前，这样公平吗？

3、今天，我们就带着这些问题走进运动场。（板书课题）

二、观察跑道、探究问题：

（一）观察思考，找出问题关键。

师：观察跑道图，每条跑道一圈的长度相等吗？差别在哪里？比赛的时候，是怎样解决这个问题的？怎样才能做到公平？

（二）分析比较，确定解决问题思路。

1、小组交流：观察跑道图，说一说，每一条跑道具体是由哪几部分组成的？内外跑道的差异是怎样形成的？

学生充分交流得出结论：

①跑道一圈长度＝2条直道长度＋一个圆的周长

②内外跑道的长度不一样是因为圆的周长不一样。

2、小组讨论：怎样找出相邻两个跑道的差距？

①分别把每条跑道的长度算出来，也就是计算2个直道长度与一个圆周长的总和，再相减，就是相邻两条跑道的差距。

②因为跑道的长度与直道无关，只要计算出各圆的周长，再算出相邻两圆的周长相差多少米，就是相邻跑道的差距。

（三）计算验证，解决问题：

师：计算圆的周长要知道什么？

生：直径

师：第一道的直径为72.6米，第二道是多少？第三道呢？

（让学生选择自己喜欢的方法进行计算）

方法一：计算完成下表。

方法二：

75.1×3.14－72.6×3.14＝7.85（m）

77.6×3.14－75.1×3.14＝7.85（m）……

师：刚才大家通过计算已经知道了400米跑相邻两个跑道长度大约相差7.85米，也就是相邻跑道的起跑线应该相差7.85米。哪一种方法更快更简便呢？

生：第二种方法更简便。

师：如果我们计算圆的周长时直接用π表示，你有什么发现？

（72.6＋1.25×2）π－72.6π

＝72.6π－72.6π＋1.25×2×π

＝1.25×2×π

（75.1＋1.25×2）π－75.1π

＝75.1π－75.1π＋1.25×2×π

＝1.25×2×π……

（相邻跑道起跑线相差都是“跑道宽×2×π”）

师：从这里可以看出：起跑线的确定与什么关系最为密切？

生：与跑道的宽度关系最为密切。

小结：同学们经过努力终于找到了确定起跑线的秘密！其实只要知道了跑道的宽度，就能确定起跑线的位置。

三、巩固应用，形成技能：

小学生运动会的跑道宽比成人比赛的跑道宽要窄些，要开小学生运动会，你能帮裁判计算出相邻两条跑道的起跑线又该相差多少米吗？400米的跑步比赛，跑道宽为1米，起跑线该依次提前多少米？如果跑道宽是1.２米呢？

四、回顾小结，体验收获：

谈一谈，这节课你有什么收获？

【反思】

课的开始我设计了一场不公平的比赛，让学生发现了比赛中存在的问题，并且提出问题。学生结合自己的生活经验发表了解决问题的方法，从而找出问题的`结果：弯道之差其实就是圆的周长之差。问题：如何确定每一条跑道起跑点呢？引导学生得出要确定起跑点，就要计算出相邻跑道的长度之差，怎样计算相邻跑道的长度之差？通过带学生观察体育运动场让学生知道计算相邻跑道的长度之差，与直道没关系，实质是计算由两个弯道合拢的圆的周长之差，再推导出：相邻跑道的长度之差=道宽Ⅹ2∏，让学生知道确定起跑线位置只需知道道宽即可，实现了教学重点的突破。最后让学生练习解决相关的不同问题。如，小型运动会设置200米的半圆形跑道，每条跑道宽1.2米。第2跑道比第1跑道提前多少米？这时则需要学生要灵活应用即求相邻的半圆跑道=道。

问题从实践中来，再回到实践中用所学知识解决问题，较好地培养了学生学习应用数学的意识，达到实践活动课的实践目标。

新人教版六年级上册数学《确定起跑线第1课时》教学反思感悟

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《新人教版六年级上册数学《确定起跑线第1课时》教学反思感悟》这是一篇六年级上册数学教案，《确定起跑线》是一节利用第一单元圆的周长，让学生用数学知识研究在实际的运动比赛的起跑线的问题的实践研究课。

确定起跑线

第一课时

课后反思

1.六年级的学生已具备一定的小组自我探究的能力,可以利用小组合作的形式进行学习。

2.大多数的学生都喜欢小组合作的这种学习方式。

3.学生对体育活动很喜欢,大多数学生去过体育场,对体育场的跑道和起跑线并不陌生。

【反思】

《确定起跑线》是一节利用第一单元圆的周长，让学生用数学知识研究在实际的运动比赛的起跑线的问题的实践研究课。

课的开始我设计了一场不公平的比赛，让学生发现了比赛中存在的问题，并且提出问题。学生结合自己的生活经验发表了解决问题的方法，从而找出问题的结果：弯道之差其实就是圆的周长之差。问题：如何确定每一条跑道起跑点呢？引导学生得出要确定起跑点，就要计算出相邻跑道的长度之差，怎样计算相邻跑道的长度之差？通过带学生观察体育运动场让学生知道计算相邻跑道的长度之差，与直道没关系，实质是计算由两个弯道合拢的圆的周长之差，再推导出：相邻跑道的长度之差=道宽Ⅹ2∏，让学生知道确定起跑线位置只需知道道宽即可，实现了教学重点的突破。最后让学生练习解决相关的不同问题。如，小型运动会设置200米的半圆形跑道，每条跑道宽1.2米。第2跑道比第1跑道提前多少米？这时则需要学生要灵活应用即求相邻的半圆跑道=道。

问题从实践中来，再回到实践中用所学知识解决问题，较好地培养了学生学习应用数学的意识，达到实践活动课的实践目标。

数学综合实践活动《确定起跑线》教学反思

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《数学综合实践活动《确定起跑线》教学反思》这是一篇六年级上册数学教案，这是一节数学综合实践课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。

《确定起跑线》是一节数学综合实践课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。通过这个活动一方面让学生了解椭圆式田径场跑道结构，学会确定跑道起跑线的方法，另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。孩子们都知道有的比赛起跑线不一样，但并不知道是什么原因。结合实际情况，学生能够理解“为什么起跑线位置会不同”这个问题，因此，让学生推导确定起跑线位置的过程及其实践运用是本节课的重点，而理解起跑线的位置与什么有关则是教学的难点。

其实六年级的学生对起跑线并不陌生，但可能很少从数学的角度去思考200米、400米等起跑线位置为什么不同，相差多少。因此本节课我使用课件呈现了两个比赛场景，让学生学生观察不同的起跑场景，比较不同点，从而引入需要研究的数学问题。经过观察发现：每条跑道的长度不同，如果在同一条跑道上，外圈的同学跑的距离长，所以外圈跑道的起跑线位置应该往前移。然后通过多媒体呈现跑道的有关信息，学生在老师的引导下对已获得的信息进行梳理，使学生观察表明：每圈跑道的长度等于两个半圆形跑道合成的圆的周长加上两个直道的长度。学生在小组内借助计算器试算后，汇报方法。从中对多种算法进行优化，如各条跑道直道长度相同，因此跑道之间的差就在两个半圆形跑道合在一起的圆的周长的差。通过不同的方式，计算相邻跑道的长度差，不断对探究方法进行优化，接近造成相邻跑道长度差的根源，让学生明白相邻跑道长度差和跑道宽度的关系。

数学教学可贵之处是引导学生善于发现规律、寻找规律。本节课，充分调动学生对有关知识和生活的积累，通过自主探索、观察分析、合作学习、交流辩论、互相启发，把相邻两条跑道的长度差计算方法，从繁杂到简洁、从死算到活化。最后得出规律是一个常数。让学生享受到成功的喜悦。在这里，我充分利用多媒体动画直观演示，得出两个圆的直径的差也就是里圆的直径加上两个跑道的宽度。由此得出最简单的方法：相邻跑道差=∏×2×道宽。数学来源于生活，同时也服务于生活，应用学到的知识解决实际生活中的问题，不但使学生感受到数学与实际生活是密切联系的，提高学生分析和解决问题的能力。为此，巩固练习环节我设计了一组练习：确定200米、400米跑步比赛，跑道宽为1.5米，起跑线应依次提前多少米？跑道宽为1.2米，起跑线应依次提前多少米等问题。

课后回顾整节课的教学过程和学生的表现，也发现了一些值得思考的问题：比如在计算时，是否把π留着，不计算出来，结果用几π表示出来，到最后比较时学生很容易归纳出“Nπ”来。这样学生有利把重点放在方法的探究上，而不是对计算结果的争议上，这节课尽管学生借用了计算器，但还是在计算上花了比较长的时间。另外，在计算方法的探究过程中，我有意放手让学生自主探究方法，再汇报。意在学生亲自动手参与计算后在汇报中把计算方法达到最优化。但在教学中，我却提出问题，匆匆的结束探究，急急的指名汇报，让部分学生还不知从何开始就“到此结束”。同样的情形在练习中也再次重演，当学生在汇报200米比赛中的起跑线该怎么确定时也是学生说得不够，用部分学生的想法替代了全部学生的思维。因此，本节课的教学方式是否面向了全体还有待改进。

另外，一些细节的把握做的不是特别到位，以后应加强照顾后进生，让他们也能真正学会东西，同时不断提高自身水平，让教学变的更加精彩。

【反思】

这是一节数学综合实践课，是在学生掌握了圆的概念和周长等知识的基础上设计的。通过这个活动一方面让学生了解椭圆式田径场跑道结构，学会确定跑道起跑线的方法：另一方面让学生切实体会到数学在体育等领域的广泛应用。由于每一学期我校都举行运动会，所以孩子们都知道有的比赛起跑线不一样，但并不知道是什么原因。结合实际情况，学生能够理解“为什么起跑线位置会不同”这个问题，因此，让学生推导确定起跑线位置的过程及其实践运用是本节课的重点，而理解起跑线的位置与什么有关则是教学的难点。其实六年级的.学生对起跑线并不陌生，很少有学生会从教学的角度去思考200米、400米等起跑线位置为什么不同，相差多少。所以课的开始，我带领同学们到学校的操场上，去让同学们亲身感受一下在同一起跑线上起跑而处于不同道次的不同。然后开门见山的提出问题，“你觉得他们的比赛规则合理吗？”引起学生对起跑线位置的关注与思考。经过观察共同讨论，达成共识：“终点相同，但每条跑道的长度不同，如果在同一条跑道上，外圈的同学跑的距离长，所以外圈跑道的起跑线位置应该往前移。”然后通过多媒体呈现跑道的有关信息，学生在老师的指引下对已获得信息进行梳理，使学生观察表明：每圈跑道的长度等于两个半圆形跑道合成的圆的周长加上两个直道的长度。学生在小组内借助计算器试算后，汇报方法。从中对多种算法进行优化，如各条跑道直道长度相同，因此跑道之间的差就在两个半圆形跑道合在一起的圆的周长的差。在这里，我充分利用多媒体动画直观演示学生思考的过程，得出两个圆的直径的差也就是里圆的直径加上两个跑道的宽度，以及跑道线的宽在这里忽略不计等问题，并向其他学生作出具体说明。由此得出最简单的方法：相邻跑道差=2π×道宽。数字来源于生活，同时也服务于生活，应用学到的知识解决实际生活中的问题，不但使学生感受到数学与实际生活是密切联系的，而且能培养他们的创新精神。为此，我设计了一组练习：确定200米、800米、1500米跑步比赛中起跑线的位置。多媒体的直观性让学生学习兴趣较高，也让整堂课取得了一定得教学效果。

课后，回顾教学过程和学生的表现，也发现了值得思考的问题。

在计算方法的探究过程中，教师有意放手让学生自主就方法，再汇报。意在学生亲自动手参与计算后在汇报中把计算方法达到最优化。但在教学中，教师“担惊受怕”，稳稳地提出问题，匆匆的结束探究，急急的指名汇报，让部分学生还不知从何开始就“到此结束”。同样的情形在练习中也再次重演，当学生在汇报200米比赛中的起跑线该怎么确定时，也是学生说的不够，用部分学生的想法替代了全部学生的思维。因此，本节课的教学方式是否面向了全体还有待改进。

北师大版九年级数学下册3.7切线长定理1教学设计反思

现在向您介绍幼儿园教案《北师大版九年级数学下册3.7切线长定理1教学设计反思》

《北师大版九年级数学下册3.7切线长定理1教学设计反思》这是一篇九年级下册数学教案，在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程.

*3.7切线长定理

1．理解切线长的定义；(重点)

2．掌握切线长定理并能运用切线长定理解决问题．(难点)

一、情境导入

如图①，PA为⊙O的一条切线，点A为切点．如图②所示，沿着直线PO将纸对折，由于直线PO经过圆心O，所以PO是圆的一条对称轴，两半圆重合．设与点A重合的点为点B，这里，OB是⊙O的一条半径，PB是⊙O的一条切线．图中PA与PB、∠APO与∠BPO有什么关系？

二、合作探究

探究点：切线长定理

【类型一】利用切线长定理求线段的长

如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是点A和点B，如果∠APB＝60°，线段PA＝10，那么弦AB的长是()

A．10

B．12

C．53

D．103

解析：∵PA、PB都是⊙O的切线，∴PA＝PB.∵∠APB＝60°，∴△PAB是等边三角形，∴AB＝PA＝10.故选A.

方法总结：切线长定理是在圆中判断线段相等的主要依据，经常用到．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型二】利用切线长定理求角的度数

如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．

解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝12∠APB＝20°.故答案为20.

方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题

【类型三】利用切线长定理求三角形的周长

如图，PA、PB、DE是⊙O的切线，切点分别为A、B、F，已知PO＝13cm，⊙O的半径为5cm，求△PDE的周长．

解析：连接OA，根据切线的性质定理，得OA⊥PA.根据勾股定理，得PA＝12，再根据切线长定理即可求得△PDE的周长．

解：连接OA，则OA⊥PA.在Rt△APO中，PO＝13cm，OA＝5cm，根据勾股定理，得AP＝12cm.∵PA、PB、DE是⊙O的切线，∴PA＝PB，DA＝DF，EF＝EB，∴△PDE的周长PD＋DE＋PE＝PD＋DF＋FE＋PE＝PD＋DA＋EB＋PE＝PA＋PB＝2PA＝24cm.

方法总结：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题

【类型四】利用切线长定理解决圆外切四边形的问题

如图，四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，判断AB、BC、CD、DA之间有怎样的数量关系，并说明理由．

解析：直接利用切线长定理解答即可．

解：AD＋BC＝CD＋AB，理由如下：∵四边形ABCD的边与圆O分别相切于点E、F、G、H，∴DH＝DG，CG＝CF，BE＝BF，AE＝AH，∴AH＋DH＋CF＋BF＝DG＋GC＋AE＋BE，即AD＋BC＝CD＋AB.

方法总结：由切线长定理可以得到一些相等的线段，一定要明确这些相等线段．记住“圆外切四边形的对边之和相等”，对我们以后解决问题有很大帮助．

变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题

【类型五】切线长定理与三角形内切圆的综合

如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的内切圆，它与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F.

(1)求证：BE＝CE；

(2)若∠A＝90°，AB＝AC＝2，求⊙O的半径．

解析：(1)利用切线长定理得出AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF，进而得出BD＝CF，即可得出答案；

(2)首先连接OD、OE、OF，进而利用切线的性质得出∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°，进而得出四边形ODAF是正方形，再利用勾股定理求出⊙O的半径．

(1)证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，∴AD＝AF，BD＝BE，CE＝CF.∵AB＝AC，∴AB－AD＝AC－AF，即BD＝CF，∴BE＝CE；

(2)解：连接OD、OE、OF，∵⊙O是△ABC的内切圆，切点为D、E、F，∴∠ODA＝∠OFA＝∠A＝90°.又∵OD＝OF，∴四边形ODAF是正方形．设OD＝AD＝AF＝r，则BE＝BD＝CF＝CE＝2－r.在△ABC中，∠A＝90°，∴BC＝AB2＋AC2＝22.又∵BC＝BE＋CE，∴(2－r)＋(2－r)＝22，得r＝2－2，∴⊙O的半径是2－2.

方法总结：本题综合考查了正方形的判定以及切线长定理和勾股定理等知识，解决问题的关键是得出四边形ODAF是正方形．

【类型六】利用切线长定理解决存在性问题

如图①，已知正方形ABCD的边长为23，点M是AD的中点，P是线段MD上的一动点(P不与M，D重合)，以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交BC于点F，切点为E.

(1)除正方形ABCD的四边和⊙O中的半径外，图中还有哪些相等的线段(不能添加字母和辅助线)?

(2)求四边形CDPF的周长；

(3)延长CD，FP相交于点G，如图②所示．是否存在点P，使BF•FG＝CF•OF？如果存在，试求此时AP的长；如果不存在，请说明理由．

解析：(1)根据切线长定理得到FB＝FE，PE＝PA；(2)根据切线长定理，发现该四边形的周长等于正方形的三边之和；(3)若要满足结论，则∠BFO＝∠GFC，根据切线长定理得∠BFO＝∠EFO，从而得到这三个角应是60°，然后结合已知的正方形的边长，也是圆的直径，利用30°的直角三角形的知识进行计算．

解：(1)FB＝FE，PE＝PA；

(2)四边形CDPF的周长为FC＋CD＋DP＋PE＋EF＝FC＋CD＋DP＋PA＋BF＝BF＋FC＋CD＋DP＋PA＝BC＋CD＋DA＝23×3＝63；

(3)假设存在点P，使BF•FG＝CF•OF.∴BFOF＝CFFG.∵cos∠OFB＝BFOF，cos∠GFC＝CFFG，∴∠OFB＝∠GFC.∵∠OFB＝∠OFE，∴∠OFE＝∠OFB＝∠GFC＝60°，∴在Rt△OFB中，BF＝OBtan∠OFB＝OBtan60°＝1.在Rt△GFC中，∵CG＝CF•tan∠GFC＝CF•tan60°＝(23－1)×3＝6－3，∴DG＝CG－CD＝6－33，∴DP＝DG•tan∠PGD＝DG•tan30°＝23－3，∴AP＝AD－DP＝23－(23－3)＝3.

方法总结：由于存在性问题的结论有两种可能，所以具有开放的特征，在假设存在性以后进行的推理或计算．一般思路是：假设存在——推理论证——得出结论．若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断，若导出矛盾，就做出“不存在”的判断．

三、板书设计

切线长定理

1．切线长的概念

2．切线长定理

3．切线长定理的应用

在教学过程中，通过安排实践操作活动，使学生提高了探究的兴趣．首先教师突出操作要求，学生操作并思考回答问题，教师在学生回答问题的基础上进一步引导学生从中发现问题，让学生体会从具体情景和实践操作中发现问题，解决问题．通过设计问题情境，使学生提高解决问题的意识，通过自己画图尝试从中得到感性认识，进而不断地比较，让学生的思维能够经历一个从模糊到清晰，从具体到抽象，从直觉到逻辑的过程，再由直观、粗糙向严格、精确，使学生体会数学发展的过程.